Soluções de equações diferenciais

A Transformada de Laplace é muito utilizada como método para resolver equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes, com coeficientes variáveis, para equações diferenciais ordinárias simultâneas (sistemas de equações diferenciais), para equações diferenciais parciais e demais variações. Portanto, pode ser aplicada na resolução de diferentes problemas de engenharia. De modo genérico, o processo para resolver as equações diferenciais segue 3 etapas:

1. Transformar a equação do problema em uma equação algébrica. Esta nova equação obtida é denominada Equação subsidiária.
2. Manipular a equação subsidiária obtida e resolvê-la.
3. Encontrar a solução da equação diferencial através da Transformada de Laplace Inversa.

Este procedimento de transformar um problema de cálculo em um problema algébrico é chamado de Cálculo Operacional e dentre as vantagens principais deste método estão dois pontos importantes:

• Resolução de forma mais direta dos problemas de valor inicial. Por exemplo, no caso de equações diferenciais ordinárias não homogêneas não há necessidade de resolver previamente a equação diferencial ordinária homogênea correspondente.
• É aplicado para problemas que envolvem descontinuidades, impulsos ou funções periódicas com facilidade devido à função Degrau Unitário e o Delta de Dirac.

Seguem abaixo algumas aplicações da Transformada de Laplace para resolução de problemas no campo da Engenharia.

Aplicação às Vigas

A equação diferencial que rege este problema é:

${\frac {d^{4}y(x)}{dx^{4}}}={\frac {W(x)}{EI}}$

Onde I é o momento de inércia da viga e o E é o módulo de Young. E W(x) representa a carga e é dado por:

$W(x)=P_{0}\delta (x-{\frac {L}{3}})$

Aplicando a Transformada de Laplace temos:

${\mathcal {L}}\{{\frac {d^{4}y(x)}{dx^{4}}}\}={\mathcal {L}}\{{\frac {W(x)}{EI}}\}$

$s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-sy''(0)-y'''(0)={\frac {P_{0}}{EI}}e^{{\frac {-L}{3}}s}$

Resolvendo algebricamente e considerando os valores iniciais:

$y(0)=y'(0)=0,y''(0)=C_{1}ey'''(0)=C_{2}$

Obtemos a seguinte equação:

$Y(s)={\frac {C_{1}}{s^{3}}}+{\frac {C_{2}}{s^{4}}}+{\frac {P_{0}}{EI}}{\frac {e^{{\frac {-L}{3}}s}}{s^{4}}}\,$.

Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos a expressão para y(x):

$y(x)={\frac {C_{1}}{2!}}x^{2}+{\frac {C_{2}}{3!}}x^{3}+{\frac {P_{0}}{EI}}{\frac {(x-L/3)^{3}}{3!}}u(x-L/3)\,$.

Aplicando as outras duas condições iniciais disponíveis: y(L) = 0 e y'(L)=0, descobre-se as duas constantes e encontra-se a solução final do problema. Se considerarmos L=5, o gráfico da solução é dado pela figura 1.

Aplicação Reação Química

Este exemplo traz um sistema de equações diferenciais ordinárias para ser resolvido de forma simples, pelo método da Transformada de Laplace. Considera-se um mecanismo simplificado:
R→I→P
Podemos representar as concentrações como:

$r'(t)=-2r(t)$.

$i'(t)=2r(t)-4i(t)$.

$p'(t)=4i(t)$.

Considerando α=2 e γ=4 como constantes positivas conhecidas e as condições iniciais de r(0)=1, i(0)=p(0)=0, calculamos a transformada de Laplace para cada uma das equações:

${\mathcal {L}}\{r'(t)\}=sR(s)-r(0)=-2R(s)$.

${\mathcal {L}}\{i'(t)\}=sI(s)-i(0)=2R(s)-4I(s)$.

${\mathcal {L}}\{p'(t)\}=sP(s)-p(0)=4I(s)$.

Resolvendo algebricamente cada uma das equações, com as respectivas substituições, obtemos:

$R(s)={\frac {1}{s+2}}$.

$I(s)={\frac {2}{(s+2)(s+4)}}$.

$P(s)={\frac {4}{s(s+2)(s+4)}}$.

Agora, calcula-se a transformada inversa de Laplace e encontra-se as soluções r(t),i(t) e p(t).

$r(t)=e^{-2t}$.

$i(t)=-e^{-2t}+e^{-4t}$.

$p(t)=2e^{-2t}-e^{-4t}-1$.

Aplicação para Oscilador Harmônico

Um oscilador harmônico sujeito a uma força pontual periódica.

Esta força pode ser representada por uma função Delta de Dirac, com isso a equação do oscilador é:

$y''+y=4\delta (t-2\pi )$

$y(0)=1,y'(0)=0$.

Aplicando Transformada de Laplace dos dois lados temos

${\mathcal {L}}\{y''+y\}={\mathcal {L}}\{4\delta (t-2\pi )\}$

$S^{2}Y(S)-Sy(0)-y'(0)+Y(S)=4e^{-2S\pi }$

Assim,

$Y(s)={\frac {s}{s^{2}+1}}+{\frac {4e^{2\pi s}}{s^{2}+1}}\,$.

Agora aplicando a transformada inversa dos dois lados

$y(t)=cos(t)+4sen(t-2\pi )U(t-2\pi )\,$.

Na qual $U(t-2\pi )\,$. é uma função degrau ou Função de Heaviside.

Aplicação para molas

Molas Acopladas

Duas massas $m_{1}$ e $m_{2}$ estão presas a duas molas de massas desprezíveis, com constantes elásticas $k_{1}$ e $k_{2}$ respectivamente.

Sejam $x_{1}(t)$ e $x_{2}(t)$ os deslocamentos verticais das massas em relação a posição de equilíbrio, temos que o alongamento da mola B será $x_{2}-x_{1}$

Pela segunda lei de Newton temos

$m_{1}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})\qquad {\mbox{e}}$

$m_{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})$

A solução desse problema via transformada integral se torna simples, pois através dela o problema se torna equivalente a um sistema de equações lineares.

EXEMPLO:

Sendo $k_{1}=6$, $k_{2}=4$ e $m_{1}=m_{2}=1$, e dado que

$x_{1}(0)=x_{2}(0)=0$ e $x'_{1}(0)=-x'_{2}(0)=1$ (condições)

Temos as seguintes EDO’s:

$x''_{1}+10x_{1}-4x_{2}=0$

$x''_{2}-4x_{1}+4x_{2}=0$

Aplicando transformada de Laplace nas duas equações temos:

$s^{2}X_{1}(s)-sx_{1}(0)-x'_{1}(0)+10X_{1}(s)-4X_{2}(s)=0$

$s^{2}X_{2}(s)-sx_{2}(0)-x'_{2}(0)+4X_{2}(s)-4X_{1}(s)=0$

Agora simplesmente resolvendo o sistema temos Utilizando as condições dadas em (condições)

$X_{1}={\frac {s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}}=-{\frac {1/5}{s^{2}+2}}+{\frac {6/5}{s^{2}+12}}$

Assim aplicando a transformada inversa temos:

$x_{1}=-{\frac {\sqrt {2}}{5}}sen{\sqrt {2}}t+{\frac {\sqrt {3}}{5}}sen2{\sqrt {3}}t$.

Encontrando $X_{2}$ utilizando $X_{1}$ encontrado anteriormente temos:

$X_{2}=-{\frac {2/5}{s^{2}+2}}-{\frac {3/5}{s^{2}+12}}$,

portanto, aplicando a transformada inversa, temos:

$x_{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{5}}sen{\sqrt {2}}t-{\frac {\sqrt {3}}{10}}sen2{\sqrt {3}}t$.