SymPy

SymPy

SymPy é uma biblioteca Python para computação simbólica. Ela fornece ferramentas de álgebra computacional tanto como uma aplicação independente como, também, uma biblioteca para outras aplicações. Ainda, a biblioteca está disponível de forma on-line nos sítios de internet:SymPy Live e SymPy Gamma. Sympy é fácil de ser instalada e analisada, pois é escrita em Python e não depende de bibliotecas adicionais.

SymPy inclui ferramentas que variam do cálculo de aritmética simbólica básica, algebra, matemática discreta e física quântica. É capaz de formatar o resultado das computações em código LaTeX. Symy é um software livre sob licença BSD. Os desenvolvedores líderes são Ondřej Čertík e Aaron Meurer.

Visão Geral

A biblioteca Sympy está dividida em um núcleo com vários módulos opcionais. Atualmente, o núcleo do Sympy tem aproximadamente 260,000 linhas de código e suas ferramentas incluem:

Núcleo de ferramentas

• Aritmética básica: *, /, +, -, **
• Simplificação
• Expansão
• Funções: trigonométricas, hiperbólicas, exponenciais, radicais, logarítmicas, valor absoluto, harmônicas esféricas, fatoriais e função gama, função zeta, polinomiais, hipergeométricas, funções especiais, entre outras.

• Substituição
• Números inteiros, racionais e de ponto flutuante de precisão arbitrária
• Símbolos não-comutativos
• Reconhecimento de padrões

Polinômios

• Aritmética básica: divisão, gcd, etc.
• Fatorização
• Bases de Gröbner
• Frações parciais
• Resultantes

Cálculo

• Limites
• Diferenciação
• Integração
• Séries de Taylor (Laurent)

Solução de equações

• Polinomiais
• Sistemas de equações
• Equações algébricas
• Equações diferenciais
• Equações de diferenças

Matemática discreta

• Coeficientes binomiais
• Somas
• Produtos
• Teoria dos números: gerador de números primos, teste de números primos, fatorização inteira, etc.
• Expressões lógicas

Matrizes

• Aritmética básica
• Autovalores e autovetores
• Determinantes
• Inversão
• Solução de sistemas lineares

Geometria

• Pontos, linhas, raios, segmentos, elípces, círculos, polígonos, etc.
• Interseções
• Tangência
• Similaridade

Gráficos

Nota: a geração de gráficos requer o módulo externo Pyglet.

• Modelos de coordenadas
• Entidades geométricas de gráficos
• 2D e 3D
• Interface iterativa
• Cores

Física

• Unidades
• Mecânica
• Ótica gaussiana
• Álgebra de Pauli

Estatística

• Distribuições normais
• Distribuições uniformes
• Probabilidade

Saída de dados

• Pretty printing: ASCII/Unicode pretty printing, LaTeX
• Geração de código: C, FORTRAN, Python

Projetos relacionados

• SageMath: uma alternativa de código aberto ao Mathematica, Maple, Matlab, e Magma (SymPy está incluído no SageMath)
• mpmath: uma biblioteca Python de aritmética de ponto flutuante com precisão arbitrária (incluído no SymPy)
• sympycore: sistema algébrico computacional escrito em Python
• symbide: GUI para SymPy no PyGTK

Dependências opcionais

SymPy não requer dependências além do Python, mas existência várias dependências opcionais que podem melhorar suas ferramentas:

• gmpy: Se o gmpy está instalado, o módulo polinomial do Sympy irá usá-lo para melhorar sua performance.

Exemplos

Pretty Printing

Sympy permite a saída de dados formatada em um formato bastante compreensível. Para tanto, usa-se a função pprint. Alternativamente, o método init_printing() ativa o pretty printing, de forma que pprint não precisa ser chamado. Pretty printing usa de símbolos unicode quando estes estão disponíveis no ambient, caso contrário ele utilizará o padrão de caracteres ASCII.

>>> from sympy import pprint, init_printing, Symbol, sin, cos, exp, sqrt, series, Integral, Function
>>>
>>> x = Symbol("x")
>>> y = Symbol("y")
>>> f = Function('f')
>>> # pprint usará padrão unicode se disponível
>>> pprint( x**exp(x) )
 ⎛ x⎞
 ⎝ℯ ⎠
x
>>> # Uma saída sem unicode
>>> pprint(Integral(f(x), x), use_unicode=False)
  /
 |
 | f(x) dx
 |
/
>>> # Compare com a mesma expressão, mas agora com unicode
>>> pprint(Integral(f(x), x), use_unicode=True)
⌠
⎮ f(x) dx
⌡
>>> # Alternativamente, pode-se chamar init_printing() que ativa pprint por padrão
>>> init_printing()
>>> sqrt(sqrt(exp(x)))
   ____
4 ╱  x
╲╱  ℯ
>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)
     2      4       6        8
    x    5⋅x    61⋅x    277⋅x     ⎛ 10⎞
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O⎝x  ⎠
    2     24     720     8064

Expansão

>>> from sympy import init_printing, Symbol, expand
>>> init_printing()
>>>
>>> a = Symbol('a')
>>> b = Symbol('b')
>>> e = (a + b)**5
>>> e
       5
(a + b)
>>> e.expand()
 5      4         3  2       2  3        4    5
a  + 5⋅a ⋅b + 10⋅a ⋅b  + 10⋅a ⋅b  + 5⋅a⋅b  + b

Precisão arbitrária

>>> from sympy import Rational, pprint
>>>
>>> e = Rational(2)**50 / Rational(10)**50
>>> pprint(e)
1/88817841970012523233890533447265625

Diferenciação

>>> from sympy import init_printing, symbols, ln, diff
>>> init_printing()
>>> x,y = symbols('x y')
>>> f = x**2 / y + 2 * x - ln(y)
>>> diff(f,x)
 2⋅x
 ─── + 2
  y
>>> diff(f,y)
    2
   x    1
 - ── - ─
    2   y
   y
>>> diff(diff(f,x),y)
 -2⋅x
 ────
   2
  y

Gráficos

>>> from sympy import symbols, plot3d, cos
>>> x,y = symbols('x y')
>>> plot3d(cos(x*3)*cos(y*5)-y, (x, -1, 1), (y, -1, 1))
<sympy.plotting.plot.Plot object at 0x3b6d0d0>

Limites

>>> from sympy import init_printing, Symbol, limit, sqrt, oo
>>> init_printing()
>>>
>>> x = Symbol('x')
>>> limit(sqrt(x**2 - 5*x + 6) - x, x, oo)
-5/2
>>> limit(x*(sqrt(x**2 + 1) - x), x, oo)
1/2
>>> limit(1/x**2, x, 0)
∞
>>> limit(((x - 1)/(x + 1))**x, x, oo)
 -2
ℯ

Equações diferenciais

>>> from sympy import init_printing, Symbol, Function, Eq, dsolve, sin, diff
>>> init_printing()
>>>
>>> x = Symbol("x")
>>> f = Function("f")
>>>
>>> eq = Eq(f(x).diff(x), f(x))
>>> eq
d
──(f(x)) = f(x)
dx
>>>
>>> dsolve(eq, f(x))
           x
f(x) = C₁⋅ℯ

>>>
>>> eq = Eq(x**2*f(x).diff(x), -3*x*f(x) + sin(x)/x)
>>> eq
 2 d                      sin(x)
x ⋅──(f(x)) = -3⋅x⋅f(x) + ──────
   dx                       x
>>>
>>> dsolve(eq, f(x))
       C₁ - cos(x)
f(x) = ───────────
             3
            x

Integração

>>> from sympy import init_printing, integrate, Symbol, exp, cos, erf
>>> init_printing()
>>> x = Symbol('x')
>>> # Função polinomial
>>> f = x**2 + x + 1
>>> f
 2
x  + x + 1
>>> integrate(f,x)
 3    2
x    x
── + ── + x
3    2
>>> # Função racional
>>> f = x/(x**2+2*x+1)
>>> f
     x
────────────
 2
x  + 2⋅x + 1

>>> integrate(f, x)
               1
log(x + 1) + ─────
             x + 1
>>> # Função polinomial-exponencial
>>> f = x**2 * exp(x) * cos(x)
>>> f
 2  x
x ⋅ℯ ⋅cos(x)
>>> integrate(f, x)
 2  x           2  x                         x           x
x ⋅ℯ ⋅sin(x)   x ⋅ℯ ⋅cos(x)      x          ℯ ⋅sin(x)   ℯ ⋅cos(x)
──────────── + ──────────── - x⋅ℯ ⋅sin(x) + ───────── - ─────────
     2              2                           2           2
>>> # Uma integral não elementar
>>> f = exp(-x**2) * erf(x)
>>> f
   2
 -x
ℯ   ⋅erf(x)
>>> integrate(f, x)

  ___    2
╲╱ π ⋅erf (x)
─────────────
      4

Séries

>>> from sympy import Symbol, cos, sin, pprint
>>> x = Symbol('x')
>>> e = 1/cos(x)
>>> pprint(e)
  1
──────
cos(x)
>>> pprint(e.series(x, 0, 10))
     2      4       6        8
    x    5⋅x    61⋅x    277⋅x     ⎛ 10⎞
1 + ── + ──── + ───── + ────── + O⎝x  ⎠
    2     24     720     8064
>>> e = 1/sin(x)
>>> pprint(e)
  1
──────
sin(x)
>>> pprint(e.series(x, 0, 4))
           3
1   x   7⋅x     ⎛ 4⎞
─ + ─ + ──── + O⎝x ⎠
x   6   360

Veja também

• Maxima

Ligações externas

• Página do projeto SymPy
• Planeta SymPy
• Repositório do código no Github
• Fórum Suporte e desenvolvimento