Teorema de Jacobi

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Em álgebra linear, o Teorema de Jacobi é um resultado que permite substituir uma fila de uma matriz quadrada qualquer, pela soma desta fila com um múltiplo de uma fila paralela, sem se alterar o valor do determinante da matriz.[1][2]

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada for adicionada uma múltipla de outra fila paralela, obtemos uma matriz tal que [3][nota 1].

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O Teoremas de Jacobi é particularmente útil quando produzimos zeros de modo a obter uma matriz triangular. Para ilustrar esta ideia vamos calcular o determinante da matriz A dada por

.

Realizamos as seguintes alterações nas linhas 2 e 3 da matriz : Nova Linha 2 Linha 2 3 Linha 1; Nova Linha 3 Linha 3 Linha 1. Temos, assim, de acordo com o Teorema de Jacobi,

.

Realizando a nova alteração: Nova Linha 3 Linha 3 Linha 2, temos, novamente pelo Teorema de Jacobi,

.

Portanto, como chegamos a uma matriz triangular, cujo determinante pode ser obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal, temos .

Nota-se que o Teorema de Jacobi permite uma triangularização da matriz, facilitando o cálculo do determinante [4].

Exemplo: Teorema de Jacobi Teorema de Laplace[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz de ordem 4 será calculado de duas formas, ilustrando que o uso do Teorema de Jacobi reduz a quantidade de determinantes de tamanho menor a serem calculados. Nota-se que aplicações sucessivas do Teorema de Jacobi facilitariam ainda mais o cálculo do determinante, especialmente quando uma matriz triangular é obtida.

1) Pelo Teorema de Jacobi, serão obtidos zeros na primeira coluna (e linhas 2, 3 e 4) da matriz

Em seguida, será calculado o determinante da matriz por meio do uso do teorema de Laplace e da Regra de Sarrus. Realizamos as seguintes alterações nas linhas 2 e 3 de : Nova Linha 2 Linha 2 Linha 1; Nova Linha 3 Linha 3 (1) Linha 1; Nova Linha 4 Linha 4 (2) Linha 1. A matriz resultante é

e, pelo Teorema de Jacobi, . Agora, o uso do teorema de Laplace à primeira coluna de fornece

Assim, só precisamos calcular um determinante de ordem 3, o que pode ser feito pela Regra de Sarrus, como segue

2) Sem utilizar o Teorema de Jacobi, ou seja, utilizando o Teorema de Laplace diretamente na matriz A, igualmente na primeira coluna, temos

e o uso da Regra de Sarrus para calcular cada um dos determinantes acima fornece

Demonstração do teorema[editar | editar código-fonte]

Para a demonstração[1], vamos considerar uma matriz quadrada qualquer, de ordem n, ou seja,

Na l-ésima coluna, iremos somar seus termos com os respectivos termos da k-ésima coluna multiplicados pela constante . Com isso, temos a nova matriz dada por

De acordo com a propriedade da soma de determinantes, o determinante de pode ser escrito como a soma de dois determinantes, como segue

Percebemos que no segundo determinante, do lado direito da igualdade, temos duas colunas proporcionais, de modo que o mesmo é nulo. Além disso, a matriz que aparece no primeiro determinante do lado da igualdade é exatamente . Logo, .

Referências

  1. a b IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  2. https://books.google.com.br/books?id=25kri1SrOAUC&pg=PA485&dq=%22Teorema+de+Jacobi%22&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwjt3rmF6pLlAhVDGrkGHZQLBaMQ6AEIKTAA#v=onepage&q=%22Teorema%20de%20Jacobi%22&f=false
  3. PAIVA, Manoel Rodrigues (2010). Matemática: Paiva, 2. São Paulo: Moderna. ISBN 978851606833-2 
  4. STEINBRUCH, Alfredo (1987). Álgebra linear, 2. São Paulo: Pearson Makron Books. ISBN 9780074504123 

Notas

  1. Atente-se ao simples detalhe de somar os elementos aos seus correspondentes de outra fila.
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