Teorema de Jacobi

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O Teorema de Jacobi permite a diminuição de elementos de uma fila de uma matriz quadrada qualquer, criando filas nulas, sem modificar o valor do determinante desta matriz [1].

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada for adicionada uma múltipla de outra fila paralela, obtemos uma matriz tal que [2][nota 1].

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Pelo Teorema de Jacobi, será transformado os elementos da matriz da primeira coluna em zero. Após, será calculado o determinante da matriz, se utilizando do teorema de Laplace.

Fazendo:

a) Nova Linha 2 = Linha 2 + 1 Linha 1

b) Nova Linha 3 = Linha 3 + (-1) Linha 1

c) Nova Linha 4 = Linha 4 + (- 2) Linha 1.

A matriz resultante é

Pelo Teorema de Jacobi, temos que

Agora, usando o teorema de Laplace à primeira coluna de B, fica

Assim, basta calcularmos o determinante da matriz . Sendo C esta última matriz, vamos utilizar o Teorema de Laplace: Linha 2 + (- 1) Linha 1:

resulta a matriz

.

Sabemos que, pelo Teorema de Jacobi,

Agora, usando o teorema de Laplace, pela segunda linha de D, fica:

.

Sem utilizar o Teorema de Jacobi, ou seja, utilizando o Teorema de Laplace na matriz A, igualmente na primeira coluna, teríamos a seguinte situação:

Utilizando da Regra de Sarrus em cada uma das matrizes, temos:

Demonstração do teorema[1][editar | editar código-fonte]

Seja

Adicionemos à j-esima coluna à p-essima multiplicada pela constante K. Obtemos a matriz:

De acordo com a propriedade da soma de determinantes, temos:

Com a propriedade de determinante de filas paralelas proporcionais, temos que:

Referências

  1. a b IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  2. PAIVA, Manoel Rodrigues (2010). Matemática: Paiva, 2. São Paulo: Moderna. ISBN 978851606833-2 

Notas

  1. Atente-se ao simples detalhe de somar os elementos aos seus correspondentes de outra fila.




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