Teorema de König

Em análise complexa e análise numérica, o Teorema de König fornece uma forma para estimar polos simples ou raízes simples de uma função. Em particular, possui inúmeras aplicações em algoritmos para encontrar raízes, como o método de Newton e sua generalização, o método de Householder.

O Teorema

Dada uma função meromorfa definida em $|x|<R$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n},\qquad c_{0}\neq 0.$

Suponha que esta possui polo simples apenas se $x=r$ no disco. Se $0<\sigma <1$ tal que $|r|<\sigma R$, então

${\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r+o(\sigma ^{n+1}).$

Em particular, temos que

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}=r.$

Intuição

Nas proximidades de x=r, espera-se que a função seja dominada pelo polo:

$f(x)\approx {\frac {C}{x-r}}=-{\frac {C}{r}}\,{\frac {1}{1-x/r}}=-{\frac {C}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {x}{r}}\right]^{n}.$

Correlacionando os coeficientes, vê-se que ${\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\approx r$.