Trissectriz de Maclaurin

A trissectriz de Maclaurin com a propriedade da trissecção de um ângulo.

Em geometria, a trissectriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissectriz, isto é, ela pode ser utilizada para trissecionar ângulos. Tal propriedade pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de interseção de duas retas, cada uma girando a uma velocidade uniforme sobre pontos distintos, de tal forma que a relação entre as taxas de rotação é de 1/3 e as retas inicialmente coincidem com a reta divisória entre os dois pontos. A generalização deste tipo de construção é chamada sectriz de Maclaurin. O nome da curva foi dado em homenagem a Colin Maclaurin que a investigou em 1742.

Equações

Considere duas retas que giram em torno dos pontos $P=(0,0)$ e $P_{1}=(a,0)$ de modo que quando a reta sobre $P$ forma um ângulo $\theta$ com o eixo x, a reta sobre $P_{1}$ forma um ângulo $3\theta$. Seja $Q$ o ponto da intersecção. Então o ângulo formado pelas retas em $Q$ é $3\theta$. Pela lei dos senos,

${r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }$

de modo que a equação em coordenadas polares é (sob uma translação e rotação)

$r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Assim, a curva pertence à família das concóides de Sluze.

Em coordenadas cartesianas, sua equação é

$2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})$.

Se a origem é transladada para (a, 0), então uma dedução semelhante à acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares se torna

$r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3}}}$

O que a torna um exemplo de epispiral.

A propriedade da trissecção

Dado um ângulo $\phi$, desenhemos um raio de circunferência no ponto $(a,0)$, cujo ângulo com o eixo $x$ é $\phi$. Desenhemos um raio de circunferência na origem até o ponto onde o primeiro raio de circunferência intersecta a curva. Então, através do gráfico da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo $x$ é $\phi /3$.

Principais pontos e características

A curva intercepta o eixo x em em $3a \over 2$, além de um ponto duplo na origem. A reta vertical $x={-{a \over 2}}$ é uma assíntota. A curva intersecta a reta x = a (o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto) em $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})$. Como toda cúbica nodal, a curva possui ordem zero.

Relação com outras curvas

A trissectriz de Maclaurin pode ser definida a partir de secções cônicas de três maneiras. Especificamente:

• É inversa em relação ao círculo unitário da hipérbole

$2x=a(3x^{2}-y^{2})$.

• É cissóide ao círculo

$(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

e à reta $x={a \over 2}$ em relaçao à origem.

• É pedal em relação à origem da parábola

$y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)$.

Além disso:

• A inversa em relação ao ponto $(a,0)$ é a trissectriz de Limaçon.

• A trissectrix de Maclaurin está relacionada com o folium de Descartes através de transformações afins.

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Trisectrix of Maclaurin», especificamente desta versão.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. pp. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5 
• Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix» (em inglês). MathWorld 
• "Trisectrix of Maclaurin" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Trisectrix of MacLaurin" on 2dcurves.com
• "Trisectrix of Maclaurin" at Visual Dictionary Of Special Plane Curves
• "Trisectrice de Maclaurin" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Ligações externas

• Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI