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A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, aplica-se para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais. Além disso a transformada
define como construir uma função a partir de uma série. Assim, cada série é transformada numa função; isso permitirá transformar equações diferenciais em equações algébricas que em alguns casos
podem ser resolvidas facilmente.
Seja
definida para t ≥ 0. A Transformada-Z da série
é dada por:
![{\displaystyle F(z)={\mathcal {Z}}\{f[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }f[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84edf549e9f29f3f4bec98384cb271dc617712d5)
![{\displaystyle f[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}F(z)z^{n-1}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb49df132ba8ae1656f937f73c7a1be001e9572)
A região de convergência é a parte do plano complexo onde a Transformada converge.
![{\displaystyle RDC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }f[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d413c42b1efec807b7ef858b8e653bb9ba5e2d)
A série converge para valores de
em módulo, maiores que o raio de convergência
:
![{\displaystyle {\left\vert z\right\vert }>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acd0119dd1f8832d73886a4020bc0ae48dbf0c7)
![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert f(nT)\right\vert }}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e626367f519279d72986246a81bf7fdeded7e9d)
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
Portanto, a série converge absolutamente para todos os pontos do plano
que se encontram fora do círculo de raio
, centrado na origem. Esta região é denominada região de convergência (RDC).
Se um par de sinais quaisquer formam o par de transformadas:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {Z}}\{g(n)\}=G(z)\\&{\mathcal {Z}}\{h(n)\}=H(z)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7858c603ed9475168bd637ef898310d641dc75fb)
então as seguintes propriedades são conservadas pela Transformada Z.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha g(n)+\beta h(n)\}&=\sum _{n=0}^{\infty }[\alpha g(n)+\beta h(n)]z^{-n}\\&=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }g(n)z^{-n}+\beta \sum _{n=0}^{\infty }h(n)z^{-n}\\&=\alpha {\mathcal {Z}}\{g(n)\}+\beta {\mathcal {Z}}\{h(n)\}\\&=\alpha G(z)+\beta H(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379c8abb95c9bc4bb86b458d0309811d03595b76)
![{\displaystyle g[0]=\lim _{z\to \infty }G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1442c403d6e85ec87ac6a72e31892ee361d95d0f)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(n)=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eefc18a1655e07b8554cc286eb770006001e71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n-n_{0}]\}&=z^{-n_{0}}G(z),n_{0}\geq 0\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n-n_{0}]z^{-n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188473b77f5f8d89000a559f0137ff8baa0bd028)
Definindo ![{\displaystyle m=n-n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce7d37826608024d20b6c681be19a1d982ef8ae)
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}z^{-n_{0}}=z^{-n_{0}}H(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b176aa8074da04635e85202ea768cf7b8cbf0650)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{g[n+n_{0}]\}&=z^{n_{0}}{\Biggl (}G(z)-\sum _{m=0}^{n_{0}-1}g[m]z^{-m}{\Biggr )},n_{0}>0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a613dbb7c49c09c6dc258bab5cba5a8217c1f155)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{\alpha ^{n}g[n]\}&=G\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a926e9e9c2b480c4f5b2a241c24ac34a63b59f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{ng(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }ng(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dG(z)}{dz}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe0126bdd8fe944e25d0cc3445815af2c74e217)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{f(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=F(z^{-1})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39644330d8a2ee079210df18c8afae66a0017cae)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}{g[n]*h[n]}=H(z)G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af94f40d82d898a22851427ac3d5c90917960d53)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\{{g[n]-g[n-1]}\}={\bigl (}1-z^{-1}{\bigr )}G(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f9a50fc85787094971e1872574add7b3e7bc1)
A Transformada Z é, para sinais em tempo discreto, o mesmo que a Transformada de Laplace é, para sinais contínuos.
Seja um sinal,
amostrado da forma:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x[n]=x(nT)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d0f630ab60a3a46f5f3aedb540e3b001e6e27e)
onde
é o tempo de amostragem. A Transformada de Laplace
do sinal
é:
![{\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-nT){\Biggr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\delta (t-nT){\Bigr )}e^{-st}dt\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-sT}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0978344a2e03cd9df0596133c382461a11d045)
Obtemos assim a definição de Transformada Z como a Transformada de Laplace com a mudança de variável
|
Sinal, ![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d) |
Transformada Z, ![{\displaystyle X(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727fb275ca22820bf91e526120c4939a1d38a2b0) |
Região de Convergência
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1 |
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa) |
1 |
all z
|
2 |
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c) |
![{\displaystyle z^{-n_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ae6ace91f701ddd744933b247d7df906cd39e5) |
|
3 |
![{\displaystyle u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9050d7c9f928a6c74b38f5f9325f8c7b9587d6e1) |
|
4 |
![{\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074d2265c2c901f6c15c3fbcbbf54d3a420d2eb) |
![{\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc52c5168c1c481c49399c14223af4d6eee58931) |
|
5 |
![{\displaystyle -u[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf9a052ac18a8d32dce05e4e1339a458d38dafe) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dddb318874f5bf492d7c67325e1519831a30c0f) |
|
6 |
![{\displaystyle nu[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a28e84b105a96db578fb6e6b047465468b77ec) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f0026b0756e35657f4844c1976fc60b85442ec) |
|
7 |
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f0026b0756e35657f4844c1976fc60b85442ec) |
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8 |
![{\displaystyle n^{2}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea874c2bd6b83f29b93caf0cbe50ee9131eaebc2) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de02217ac75e887a0eb2bc6d6a0ac972ec9fae7b) |
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9 |
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de02217ac75e887a0eb2bc6d6a0ac972ec9fae7b) |
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10 |
![{\displaystyle n^{3}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e2a53a00fc122eed75716c0c58cf9e58a0f38d) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9fb9e5ba2eb437f939ed2dea8d8227cbf69aa) |
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11 |
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd111768ef860fc18a2c93e5dc2fb4b03dfab8c) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9fb9e5ba2eb437f939ed2dea8d8227cbf69aa) |
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12 |
![{\displaystyle a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef62e50254aa3175939a01611766c01f9bf7b39) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbd650744a20a2efd51d3338c238254da0b046c) |
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13 |
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718b1c4477718ebeb49ac1fc41415cadeadf1e7) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbd650744a20a2efd51d3338c238254da0b046c) |
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14 |
![{\displaystyle na^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5885cf352282908bc931ed56ad572fa84f6235c) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7b1b499b4da04022665607a781eaf8975970f4) |
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15 |
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d2fae6bc70beb0ec9d5881b38a29d427823fad) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7b1b499b4da04022665607a781eaf8975970f4) |
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16 |
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68eda406d1e088553723c0395d4ce2cdeff46e) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3dba480417577b1f9b2f758dadabc0d7201765) |
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17 |
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf891898f79a3cd0cf05030244592b6aaad421) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3dba480417577b1f9b2f758dadabc0d7201765) |
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18 |
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911a3c468c99d1dc042b3b5015b48108d9476aa) |
![{\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3769c6e98da755a147d671de64dd2d4e620eb1ca) |
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19 |
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59eccb10aa95ef5ba0a1ed904aee27526fe377d) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a8653683274fd62366dc03f075cbcd96ccd00) |
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20 |
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90c4e4b46e7725d99960e3f99a846c65a5d5da) |
![{\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85beccc0235391057ae47c496e38bafff64728db) |
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21 |
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663af1f68929f4e26833381893076c001dfbebb) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdaba6745997b9ef725f389d8e2eee26f4ff7a8b) |
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1.Jury, Eliahu Ibrahim (1964). Theory and Application of the z-Transform Method. [S.l.]: John Wiley & Sons.