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Resumo das equações do conversor SEPIC no MCC

O quadro a seguir contém algumas das equações do conversor SEPIC no MCC.

Equações do conversor SEPIC no MCC

Variável	Equação
Ganho estático	$G={\frac {D}{1-D}}$
Corrente média do indutor $L_{1}$	$I_{L_{1}}=I_{in}$
Corrente média do indutor $L_{2}$	$I_{L_{2}}=I_{o}$
Ondulação de corrente do indutor $L_{1}$	$\Delta I_{L_{1}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}={\frac {V_{S}-V_{C}-V_{o}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}$
Ondulação de corrente do indutor $L_{2}$	$\Delta I_{L_{2}}={\frac {V_{C}}{L_{2}}}DT_{s}={\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}$
Ondulação de tensão no capacitor de acoplamento $C$	$\Delta V_{C}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}$
Ondulação de tensão no capacitor de saída $C_{o}$	$\Delta V_{o}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C_{o}}}={\frac {V_{o}DT_{s}}{RC_{o}}}$
Corrente média na chave	$I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}$
Corrente média na diodo	$I_{D}=I_{o}$

Conversor Ćuk no Modo de Condução Descontínua (MCD)

O conversor CC-CC Ćuk no modo de condução descontínua (MCD), assim como outros conversores como SEPIC e Zeta, diferentemente do modo contínuo, neste modo o conversor opera com três etapas. Vale destacar também, que no MCD não há a extinção da corrente nos indutores, como ocorre nos conversores Buck, Boost e Buck-Boost, sendo que durante o intervalo de corrente nula, a corrente no conversor Ćuk assume um valor constante e igual em amplitude entre os indutores, porém em direções opostas.

Assim como no MCC, pode-se definir os períodos de cada etapa como $D_{a}T_{s}$, $D_{b}T_{s}$ e $D_{c}T_{s}$.

$D_{a}+D_{b}+D_{c}=1$

Pode-se associar $D_{a}$ com a razão cíclica da chave, desta forma os demais intervalos $D_{b}$ e $D_{c}$ são dependentes de $D_{a}$.

Primeira etapa de operação

Primeira etapa de operação do conversor SEPIC

A primeira e segunda etapa do conversor Ćuk no MCD ocorre da mesma forma como no modo de condução contínua. Sendo assim, nesta etapa há o acionamento da chave e o bloqueio do diodo, que ocasionam a magnetização dos indutores, em que o indutor $L_{1}$ é magnetizado pela pela energia da fonte e o indutor $L_{2}$ é magnetizado pela energia do capacitor de acoplamento $C$, que consequentemente é descarregado nesta etapa. Desta forma pela análise utilizando as Leis de Kirchhoff encontra-se as seguintes equações diferenciais

$L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}$

$L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=v_{C}-V_{o}$

$C{\frac {dv_{C}}{dt}}=-i_{L_{2}}$

$C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}-{\frac {V_{o}}{R}}$

Segunda etapa de operação

Segunda etapa de operação do conversor SEPIC

Durante a segunda etapa, ou seja, o intevalo $D_{b}T_{s}$, a chave é bloqueada e o diodo passa a conduzir, bem como há a desmagnetização dos indutores e a carga do capacitor $C$ pela energia da fonte. Portanto pela análise obtem-se as equações a seguir:

$L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}-v_{C}$

$L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=-V_{o}$

$C{\frac {dv_{C}}{dt}}=i_{L_{1}}$

$C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}-{\frac {V_{o}}{R}}$

Terceira etapa de operação

Segunda etapa de operação do conversor SEPIC

A terceira etapa, agora presente no MCD, a chave e o diodo são bloqueados e uma corrente constante ($I_{L0}$) circula na malha que envolve os indutores, que devido ao valor de corrente constante, a tensão nos indutores é nula. Novamente, pela análise encontra-se:

$L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=0$

$L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=0$

$C{\frac {dv_{C}}{dt}}=-I_{L0}$

$C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=I_{L0}-{\frac {V_{o}}{R}}$

Ganho estático, tensões e correntes

Para a obtenção das correntes e tensões, é encontrar e estabelecer algumas relações, tais como a tensão no capacitor de acoplamento $C$, que assim como no MCC, a tensão será:

$V_{C}=V_{S}+V_{o}$

Através das equações da tensão nos indutores é possível determinar a corrente em cada etapa e esboçar a forma de onda da corrente no indutor, sendo assim as correntes no indutor são dadas a seguir:

$i_{L_{1}}(t)={\begin{cases}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}t-I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&0\leq t\leq D_{a}T_{s}\\{\frac {V_{S}-V_{C}}{L_{1}}}t-I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&D_{a}T_{s}<t\leq D_{b}T_{s}\\-I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&D_{b}T_{s}<t\leq T_{s}\end{cases}}$

$i_{L_{2}}(t)={\begin{cases}{\frac {V_{C}-V_{o}}{L_{1}}}t+I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&0\leq t\leq D_{a}T_{s}\\-{\frac {V_{o}}{L_{1}}}t+I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&D_{a}T_{s}<t\leq D_{b}T_{s}\\I_{L_{(0)}}&{\mbox{se}}&D_{b}T_{s}<t\leq T_{s}\end{cases}}$

O valor mínimo de corrente dos indutores $I_{L0}$ pode ser calculado com base na corrente do capacitor de acoplamento , o capacitor $C$. Especificamente através da corrente média do capacitor, pelas áreas dos triângulos pode-se encontrar a expressão:

$I_{C}={\frac {1}{T_{s}}}\left({\frac {D_{b}T_{s}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D_{a}T_{s}}{2}}-{\frac {D_{a}T_{s}{\frac {V_{S}}{L_{2}}}D_{a}T_{s}}{2}}-I_{L0}T_{s}\right)=0$

Resolvendo para $I_{L0}$ encontra-se:

$I_{L0}={\frac {D_{b}D_{a}V_{S}}{2L_{1}f_{s}}}-{\frac {{D_{a}}^{2}V_{S}}{2L_{2}f_{s}}}$

O ganho estático pode ser encontrado através da corrente média no diodo. A corrente média no diodo será a corrente média de saída, dado que a corrente média no capacitor é nula, a corrente deve circular pelo diodo .

$I_{D}=I_{o}={\frac {1}{T_{s}}}\left({\frac {D_{b}T_{s}\left({\frac {V_{S}}{L_{1}}}+{\frac {V_{S}}{L_{2}}}\right)D_{a}T_{s}}{2}}\right)$

Substituindo $I_{o}={\frac {V_{o}}{R}}$, $D_{b}={\frac {V_{S}}{V_{o}}}D_{a}$ e $L_{eq}={\frac {L_{1}L_{2}}{L_{1}+L_{2}}}$, e rearranjando os termos encontra-se:

${\frac {V_{o}}{R}}={\frac {{V_{S}}^{2}{D_{a}}^{2}T_{s}}{2L_{eq}V_{o}}}$

${\frac {{V_{o}}^{2}}{{V_{S}}^{2}}}={\frac {R{D_{a}}^{2}T_{s}}{2L_{eq}}}$

${\frac {V_{o}}{V_{S}}}=D_{a}{\sqrt {\frac {RT_{s}}{2L_{eq}}}}$

Desenho auxiliar do conversor SEPIC para encontrar a tensão média no capacitor

Pela análise, encontra-se a seguinte soma das tensões:

$-V_{L_{1}}+V_{C}+V_{L_{2}}+V_{o}=0$

Sendo assim, sabendo que a tensão média em regime permanente dos indutores é nula, a tensão média em $C$ em regime permanente pode ser dada por:

$V_{C}=-V_{o}$

O ganho estático do conversor Zeta, assim como de outros conversores, pode ser encontrado pela relação de tensão média no indutor, pois a tensão média no indutor em regime permanente é nula, desta forma pode-se escrever:

$V_{L_{1}}={\frac {1}{T_{s}}}\left(\int _{0}^{DT_{s}}V_{S}\,dt+\int _{0}^{(1-D)T_{s}}V_{C}\,dt\right)=0$

$V_{L_{1}}=V_{S}D+V_{C}(1-D)=0$

$V_{S}D-V_{o}(1-D)=0$

Rearranjando-se os termos encontra-se o ganho estático.

$G={\frac {V_{o}}{V_{S}}}={\frac {D}{1-D}}$

O ganho estático também pode ser obtido do mesmo modo através da relação de tensão no inditor $L_{2}$.

Dada a característica de fonte de corrente na entrada do conversor Cuk, ou seja um indutor em séria com a entrada, a corrente no indutor $L_{1}$ é a própria corrente média de entrada.

$I_{L_{1}}=I_{in}$

Devido à caracteristica de fonte de corrente, a corrente média no indutor $L_{2}$ será a própria corrente média de saída.

$I_{L_{2}}=I_{o}$

A corrente média no diodo ($I_{D}$) pode ser encontrada através de sua integral:

${\begin{aligned}I_{D}&={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt\\&={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{1max}}(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{2max}}(1-D)\\&={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)\end{aligned}}$

É possível simplificar a equação substituindo $V_{C}=V_{S}$ e deixar em função da ondulação de corrente ($\Delta I_{L}$), deste modo encontra-se:

${\begin{aligned}I_{D}&={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)\\&=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}(1-D)+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)\\&=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})(1-D)=(I_{in}+I_{o})(1-D)\\&=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)(1-D)\\&=I_{o}\end{aligned}}$

A corrente média na chave ($I_{sw}$) também pode ser encontrada pela sua integral:

$I_{S_{W}}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{DT_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt$

$I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{1_{min}}}D+{\frac {1}{2}}{\frac {V_{C}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{2_{min}}}D$

$I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{C}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D$

De forma semelhante à realizada para a corrente média no diodo, fazendo as substituições dos termos, deixando em função da ondulção de corrente ($\Delta I_{L}$), a corrente média na chave pode ser dada por:

$I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D$

$I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}D+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D+{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}D+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D$

$I_{S_{W}}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})D=(I_{in}+I_{o})(D$

$I_{S_{W}}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)D$

$I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}$

A ondulação de tensão no capacitor de acoplamento pode ser encontrada por meio da variação de carga no capacitor. A variação pode ser determinada através da integral da corrente durante uma das etapa, neste caso optou-se pela segunda etapa, sendo assim a corrente no capacitor é igual à corrente $i_{L_{1}}$.

$\Delta Q_{C}=\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)\,dt$

$\Delta Q_{C}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+I_{L_{1_{max}}}(1-D)T_{s}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)T_{s}$

$\Delta Q_{C}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}(1-D)T_{s}$

$\Delta Q_{C}=I_{L_{1}}(1-D)T_{s}$

A plicando na equação:

$\Delta V_{C}={\frac {\Delta Q_{C}}{C}}$

$\Delta V_{C}={\frac {I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{in}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{o}{\frac {D}{1-D}}(1-D)T_{s}}{C}}$

$\Delta V_{C}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C}}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}$

Por fim, a ondulação de tensão de saída pode ser determinada da mesma forma como feita para o conversor boost. Sendo assim, a ondulação de tensão no capacitor de saída pode ser encontrada pela variação de carga, sabendo que:

$\Delta Q_{C_{o}}=\Delta V_{o}C_{o}$ → $\Delta V_{o}={\frac {\Delta Q_{C_{o}}}{C_{o}}}$

sendo $\Delta Q$ a variação de carga no capacitor, $\Delta V_{o}$ é a variação de tensão de saída e $C_{o}$ é a capacitância. A variação de carga no capacitor pode ser considerada a integral da corrente no capacitor durante uma das etapas de operação. Desta forma, optando pela primeira etapa, que por simplificação da análise, pode-se considerar a corrente constante, a integral da corrente neste período será

$\Delta Q_{C_{o}}=I_{o}DT_{s}$

Aplicando este resultado na equação anterior

$\Delta V_{o}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C_{o}}}={\frac {V_{o}DT_{s}}{RC_{o}}}$