Versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach é bastante conhecido e tem diversas aplicações na Matemática. Neste artigo será mostrado uma das mais importantes de suas várias versões, conhecida como a Versão Geométrica do Teorema de Hahn-Banach. Mas antes de prová-lo, definiremos o Funcional de Minkowski da maneira mais adequada para nós e enunciaremos um lema importante para a demonstração da versão geométrica.

Versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach

Enunciado

Seja $\mathrm {X}$ normado e $C$ convexo e fechado contido em $\mathrm {X}$. Dado $x_{0}\in X,x_{0}\not \in C$, e seja $X^{*}$ o Espaço Dual de $\mathrm {X}$, temos que existe $\varphi \in X^{*}$ tal que $\varphi (x)>sup\{\varphi (x):x\in C\}$

O Funcional de Minkowski

Seja $\mathrm {X}$ normado e $C\subseteq X$. O Funcional de Minkowski de $C$ é definido por

$\mu _{C}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$

$\mu _{C}(x)=inf\{\lambda >0:x\in \lambda c\}$

Obs: considere $inf(\emptyset )=+\infty$

Um Lema importante antes da demonstração

Se $C$ é convexo e $0\in intC$, então $\mu _{C}$ é uma função sublinear e $\{x\in X:\mu _{C}(x)<1\}\subseteq C\subseteq \{x\in X:\mu _{C}(x)\leq 1\}$

Dicas para a demonstração do Lema

Para provar que $\mu _{C}(\alpha x)=\alpha \mu _{C}(x)$, considere as bolas $B(x,r)=\{y\in X:\lVert x-y\rVert <r\}$ e $B[x,r]=\{y\in X:\lVert x-y\rVert \leq r\}$ de forma que para $\delta >0$ tenhamos $0\in B(0,\delta )\subseteq C$. É claro que $\mu _{C}(0)=0.$ Tome, então, $x\in X\setminus \{0\}$ de forma que ${\frac {\delta }{\lVert x\rVert }}\cdot x\in \delta B_{x}=B[0,\delta ]\subseteq C$ e siga daí.

Na prova de que $\mu _{C}(x+y)\leq \mu _{C}(x)+\mu _{C}(y)$ utilize o fato de que $C$ é convexo.

Por fim, se $\mu _{C}(x)<1$, então $x\in \lambda C$ , para algum $\lambda <1$. Logo, $x\in \lambda C\subseteq C$. Por outro lado, se $x\in C$, então $x\in 1\cdot C$ e $\mu _{C}(x)\leq 1$, o que finaliza a demonstração do Lema.

Demonstração da Versão Geométrica

Sem perda de generalidade, podemos supor que $0\in C$. Tome $\delta =d(x,C)>0$ já que $C$ é fechado.

Agora, seja $D=\{x\in X:d(x,C)\leq \delta /2\}$. Já que $0\in C$, temos que ${\frac {\delta }{4}}B_{x}\subseteq D$, de forma que $0\in intD$. Note que $D$ é convexo e considere $\mu _{D}$. Temos, pelo Lema citado acima, que $\mu _{D}$ é sublinear e que $\mu _{D}>1$, pois $x_{0}\not \in D$.

Considere $\varphi :[x_{0}]\to \mathbb {R}$ dado por $\varphi (\lambda x_{0})=\lambda {\displaystyle \mu _{D}}(x_{0})$. Que $\varphi$ é linear é óbvio. Além disso, temos que $\varphi (\lambda x_{0})\leq \mu _{D}(\lambda x_{0})$. Do Teorema de Hahn-Banach, temos que existe ${\tilde {\phi }}\in X^{*}$ tal que

${\tilde {\phi }}\mid _{x_{0}}=\varphi$ e ${\tilde {\phi }}(x)\leq \mu _{D}(x)\forall x\in X$. Daí, note que ${\tilde {\phi }}(x_{0})=\varphi (x_{0})=\mu _{D}(x_{0})>1$.

Por outro lado, dado $x\in C$, temos que $x\in D$ e portanto:

${\tilde {\phi }}(x)\leq \mu _{D}(x)\leq 1$

Assim, ${\tilde {\phi }}(x_{0})>1\geq sup\{{\tilde {\phi }}(x):x\in C\}$ , o que encerra a demonstração.