Teorema de Cartan-Hadamard: diferenças entre revisões
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O '''Teorema de Cartan-Hadamard''' é uma afirmação em [[Geometria Riemanniana|geometria riemanniana]] concernente a estrutura de [[Variedade Riemanniana|variedades riemannianas]] completas de [[Curvatura seccional| curvaturas seccionais]] não-positivas. O teorema afirma que a [[Cobertura Universal|cobertura universal]] de tal variedade é [[Difeomorfismo|difeomórfica]] a um [[Espaço euclideano| espaço euclideano]] via o [[Mapeamento Exponencial|mapeamento exponencial]] naquele ponto. Isto foi primeiramente provado por [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt]] para [[Superfície|superfícies]] em 1881 e independentemente por [[Jacques Hadamard]] em 1898. [[Élie Cartan]] generalizou o teorema para variedades riemannianas em 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). O teorema foi posteriormente generalizado para uma grande classe de [[Espaço métrico|espaços métricos]] por [[Mikhail Gromov]] em 1987; provas detalhadas foram publicadas por [[Hans Werner Ballmann|Ballmann (1990)]]. |
O '''Teorema de Cartan-Hadamard''' é uma afirmação em [[Geometria Riemanniana|geometria riemanniana]] concernente a estrutura de [[Variedade Riemanniana|variedades riemannianas]] completas de [[Curvatura seccional| curvaturas seccionais]] não-positivas. O teorema afirma que a [[Cobertura Universal|cobertura universal]] de tal variedade é [[Difeomorfismo|difeomórfica]] a um [[Espaço euclideano| espaço euclideano]] via o [[Mapeamento Exponencial|mapeamento exponencial]] naquele ponto. Isto foi primeiramente provado por [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt]] para [[Superfície|superfícies]] em 1881 e independentemente por [[Jacques Hadamard]] em 1898. [[Élie Cartan]] generalizou o teorema para variedades riemannianas em 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). O teorema foi posteriormente generalizado para uma grande classe de [[Espaço métrico|espaços métricos]] por [[Mikhail Gromov]] em 1987; provas detalhadas foram publicadas por [[Hans Werner Ballmann|Ballmann (1990)]]. |
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{{referências}} |
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== Geometria Riemanniana == |
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<div class="references-small"> |
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O teorema de Cartan-Hadamard em geometria Riemanniana convencional declara que o [[Espaço de cobertura universal\|espaço de cobertura universal]]de um [[Variedade Riemanniana|variedade riemanniana]] [[Espaço conexo|conexa]] [[Espaço métrico completo|completa]] de [[Curvatura seccional|curvatura seccional]] não-positiva é is [[diffeomorphism|diffeomorphic]] to '''R'''<sup>''n''</sup>. In fact, for complete manifolds on non-positive curvature the [[exponential map]] based at any point of the manifold is a covering map. |
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*{{citation |last=McAlpin |first=John |title=Infinite dimensional manifolds and Morse theory |journal=Thesis |publisher=Columbia University |year=1965}}. |
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* {{citation |
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| last1 = Alexander |first1=Stephanie B. |
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| last2 = Bishop |first2=Richard L. |
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| title = The Hadamard-Cartan theorem in locally convex metric spaces |
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| year = 1990 |
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| pages = 309–320 |
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* {{citation |
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| title = Lectures on spaces of nonpositive curvature |
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| publisher = Birkhäuser Verlag |
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| location = Basel |
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| year = 1995 |
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| pages = viii+112 |
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| isbn = 3-7643-5242-6 |
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* {{citation |
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| last1 = Bridson |first1=Martin R. |
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| title = Metric spaces of non-positive curvature |
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| series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319 |
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| publisher = Springer-Verlag |
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| location = Berlin |
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| year = 1999 |
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| pages = xxii+643 |
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| isbn = 3-540-64324-9 |
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}}. |
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* {{citation |
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| last = do Carmo |first=Manfredo Perdigão |
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| title = Riemannian geometry |
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| year = 1992 |
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| pages = xvi+300 |
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| isbn = 0-8176-3490-8 |
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* {{citation |
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| title = [[Foundations of Differential Geometry]], Vol. II |
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| series = Tracts in Mathematics 15 |
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| publisher = Wiley Interscience |
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| location = New York |
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| year = 1969 |
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| pages = xvi+470 |
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| isbn = 0-470-49648-7 |
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}}. |
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* {{citation |
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| author1-link = Sigurdur Helgason (mathematician) |
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| last1 = Helgason |first1=Sigurdur |
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| title = Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces |
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| series = Pure and Applied Mathematics 80 |
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| location = New York |
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| year = 1978 |
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| pages = xvi+628 |
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| isbn = 0-12-338460-5 |
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}}. |
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*{{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Fundamentals of differential geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98593-0 | mr=1666820 | year=1999 | volume=191}}. |
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{{esboço-matemática}} |
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The theorem holds also for [[Hilbert manifold]]s in the sense that the exponential map of a non-positively curved geodesically complete connected manifold is a covering map ({{harvnb|McAlpin|1965}}; {{harvnb|Lang|1991|loc=IX, §3}}). Completeness here is understood in the sense that the exponential map is defined on the whole [[tangent space]] of a point. |
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{{Portal3|Matemática}} |
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[[Categoria:Teoremas de matemática|De Morgan]] |
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== Metric geometry == |
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[[Categoria:Lógica]] |
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In [[metric geometry]], the Cartan–Hadamard theorem is the statement that the universal cover of a [[connectedness|connected]] non-positively curved complete metric space ''X'' is a [[Hadamard space]]. In particular, if ''X'' is [[simply connected]] then it is a geodesic space in the sense that any two points are connected by a unique minimizing geodesic, and hence [[contractible]]. |
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[[Categoria:Álgebra]] |
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A metric space ''X'' is said to be non-positively curved if every point ''p'' has a neighborhood ''U'' in which any two points are joined by a [[geodesic]], and for any point ''z'' in ''U'' and constant speed geodesic γ in ''U'', one has |
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: <math> d(z,\gamma(1/2))^2 \le \frac{1}{2}d(z,\gamma(0))^2 + \frac{1}{2}d(z,\gamma(1))^2 - \frac{1}{4}d(\gamma(0),\gamma(1))^2.</math> |
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This inequality may be usefully thought of in terms of a geodesic triangle Δ = ''z''γ(0)γ(1). The left-hand side is the square distance from the vertex ''z'' to the midpoint of the opposite side. The right-hand side represents the square distance from the vertex to the midpoint of the opposite side in a Euclidean triangle having the same side lengths as Δ. This condition, called the [[CAT(k) space|CAT(0) condition]] is an abstract form of [[Toponogov's theorem|Toponogov's triangle comparison theorem]]. |
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=== Generalization to locally convex spaces === |
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The assumption of non-positive curvature can be weakened {{harv|Alexander|Bishop|1990}}, although with a correspondingly weaker conclusion. Call a metric space ''X'' convex if, for any two constant speed minimizing geodesics ''a''(''t'') and ''b''(''t''), the function |
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:<math>t\mapsto d(a(t),b(t))</math> |
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is a [[convex function]] of ''t''. A metric space is then locally convex if every point has a neighborhood that is convex in this sense. The Cartan–Hadamard theorem for locally convex spaces states: |
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* If ''X'' is a locally convex complete connected metric space, then the universal cover of ''X'' is a convex geodesic space with respect to the [[intrinsic metric|induced length metric]] ''d''. |
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In particular, the universal covering of such a space is contractible. The convexity of the distance function along a pair of geodesics is a well-known consequence of non-positive curvature of a metric space, but it is not equivalent {{harv|Ballmann|1990}}. |
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== Significance == |
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The Cartan–Hadamard theorem provides an example of a local-to-global correspondence in Riemannian and metric geometry: namely, a local condition (non-positive curvature) and a global condition (simple-connectedness) together imply a strong global property (contractibility); or in the Riemannian case, diffeomorphism with '''R'''<sup>n</sup>. |
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The metric form of the theorem demonstrates that a non-positively curved polyhedral cell complex is [[aspherical space|aspherical]]. This fact is of crucial importance for modern [[geometric group theory]]. |
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== See also == |
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* [[Glossary of Riemannian and metric geometry]] |
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* [[Hadamard manifold]] |
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Revisão das 21h04min de 25 de agosto de 2013
O Teorema de Cartan-Hadamard é uma afirmação em geometria riemanniana concernente a estrutura de variedades riemannianas completas de curvaturas seccionais não-positivas. O teorema afirma que a cobertura universal de tal variedade é difeomórfica a um espaço euclideano via o mapeamento exponencial naquele ponto. Isto foi primeiramente provado por Hans Carl Friedrich von Mangoldt para superfícies em 1881 e independentemente por Jacques Hadamard em 1898. Élie Cartan generalizou o teorema para variedades riemannianas em 1928 (Helgason 1978; do Carmo 1992; Kobayashi & Nomizu 1969). O teorema foi posteriormente generalizado para uma grande classe de espaços métricos por Mikhail Gromov em 1987; provas detalhadas foram publicadas por Ballmann (1990).
Referências
- McAlpin, John (1965), «Infinite dimensional manifolds and Morse theory», Columbia University, Thesis.
- Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. (1990), «The Hadamard-Cartan theorem in locally convex metric spaces», Enseign. Math. (2), 36 (3–4): 309–320.
- Ballmann, Werner (1995), Lectures on spaces of nonpositive curvature, ISBN 3-7643-5242-6, DMV Seminar 25, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. viii+112, MR 1377265.
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Metric spaces of non-positive curvature, ISBN 3-540-64324-9, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319, Berlin: Springer-Verlag, pp. xxii+643, MR 1744486.
- do Carmo, Manfredo Perdigão (1992), Riemannian geometry, ISBN 0-8176-3490-8, Mathematics: theory and applications, Boston: Birkhäuser, pp. xvi+300.
- Kobayashi, Shochichi; Nomizu, Katsumi (1969), Foundations of Differential Geometry, Vol. II, ISBN 0-470-49648-7, Tracts in Mathematics 15, New York: Wiley Interscience, pp. xvi+470.
- Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, ISBN 0-12-338460-5, Pure and Applied Mathematics 80, New York: Academic Press, pp. xvi+628.
- Lang, Serge (1999), Fundamentals of differential geometry, ISBN 978-0-387-98593-0, Graduate Texts in Mathematics, 191, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1666820.
