Lógica doxástica

Lógica Doxástica é um tipo de lógica modal preocupada com o raciocínio sobre crenças. O termo doxástico é derivado do grego antigo δόξα, doxa, que significa "crença." Tipicamente, uma lógica do tipo doxástico utiliza 'Bx' para referir-se a "Acredita-se que x é o caso," e o conjunto \Beta denota um conjunto de crenças. Na lógica doxástica, a crença é trata como o Operador modal.

$\mathbb {B}$: {$b_{1},b_{2},...,b_{n}$}

Existe um paralelismo completo entre uma pessoa que acredita em proposições e um sistema formal que derive proposições. Usando a lógica doxástica, é possível expressar a contra-parte epistêmica do Teorema da Incompletude de Gödel, assim como o Teorema de Löb, e outros resultados metalógicos em termos de crença.

Tipos de argumentadores

Para demonstrar as propriedades dos conjuntos de crenças, Raymond Smullyan definiu os seguintes tipos de argumentadores:

• Accurate reasoner: An accurate reasoner never believes any false proposition. (modal axiom T)

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to p$

• Argumentador inexato: Um argumentador inexato crê em, pelo menos, uma proposição falsa.

$\exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p$

• Argumentador vaidoso: Um argumentador vaidoso crê que seus ou suas crenças nunca são inexatas.Um argumentador vaidoso irá necessariamente se transformar em uma inexatidão.

${\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]$

ou

${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]$

• Argumentador consistente: Um argumentador consistente nunca acredita simultaneamente em uma proposição e na negação da mesma. (axioma modal D)

$\neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p$

ou

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p$

• Argumentador normal: Um argumentador normal é aquele que, enquanto acreditando em p, também acredita que ele ou ela crê em p (axioma modal 4).

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p$

• Argumentador peculiar: Um argumentador peculiar acredita em uma proposição p enquanto acredita também que ele ou ela não acredita em p. Apesar de um argumentador peculiar parecer um estranho fenômeno psicológico (veja O Paradoxo de Moore), um argumentador peculiar é necessariamente inexato, porém não necessariamente inconsistente.

$\exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p$

• Argumentador regular: Um argumentador regular é aquele que, enquanto acreditando que  $p\to q$, também acredita que ${\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q$.

$\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$

• Argumentador reflexivo: Um argumentador reflexivo é aquele para o qual toda proposição p possui alguma proposição q tal que o argumentador crê em $q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)$.

$\forall p:\exists q{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))$

Se um argumentador reflexivo do tipo 4 [veja abaixo] crê em ${\mathcal {B}}p\to p$, ele ou ela irá acreditar em p. Esse é um paralelismo do Teorema de Löb para argumentadores.

• Argumentador instável: Um argumentador instável é aquele que acredita que ele ou ela acredita em alguma proposição, sem acreditar de fato nela. Isto está mais para um estranho fenômeno psicológico do que para uma peculariedade; contudo, um argumentador instável não é necessariamente inconsistente.

$\exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p$

• Argumentador estável: Um argumentador estável não é instável. Isto é, para todo p, se ele ou ela acredita em Bp, então ele ou ela acredita em p. Note que estabilidade é o inverso da normalidade. Diremos que um argumentador acredita que ele ou ela é estável se para toda proposição p, ele ou ela acredita que BBp→Bp (acreditando: "Se eu deveria acreditar que eu acredito em p, então eu realmente irei acreditar em p").

$\forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p$

• Argumentador modesto: Um argumentador modesto é aquele para o qual toda proposição p é acreditável, ${\mathcal {B}}p\to p$ somente se ele ou ela acredita em p. Um argumentador modesto nunca acredita em Bp→p a menos que ele ou ela acredite em p. Qual quer argumentador reflexivo do tipo 4 é modesto. (Teorema de Löb)

$\forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p$

• Argumentador estranho: Um argumentador estranho é de tipo G e acredita que ele ou ela é inconsistente - mas está incorreto quanto a sua crença.

• Argumentador tímido: Um argumentador tímido tem medo de acreditar em p [isto é, ele ou ela não acredita em p] se ele ou ela acredita em ${\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot$

Aumentando os níveis de racionalidade

• Argumentador Tipo 1: Um argumentador do Tipo 1 possui um conhecimento completo da Lógica proposicional, isto é, ele ou ela mais cedo ou mais tarde acredita em qualquer tautologia (qualquer proposição provável por tabelas-verdade). Também, o conjunto de crenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens. Se ele ou ela em algum momento acreditar em p e acreditar em  p → q (p implica em q), então ele ou ela irá (mais cedo ou mais tarde) acreditar em q.
  • $\vdash _{PC}p\Rightarrow \vdash {\mathcal {B}}p$
  • $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$

• Argumentador Tipo 1* : Um argumentador do Tipo 1* acredita em todas as tautologias; o conjunto de sentenças dele ou dela (passado, presente e futuro) é logicamente fechado sob o modus ponens, e para qualquer proposição p e q, ele ou ela acredita em p→q, então ele ou ela também irá acreditar que, se ele ou ela acredita em p, então ele ou ela acreditará em q. O Tipo 1* possui "um pouquinho mais" de auto-consciência do que o argumentador do Tipo 1.
  • $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$

• Argumentador do Tipo 2: Um argumentador é do Tipo 2 se ele ou ela é do tipo 1, e se para todo p e q, ele ou ela (corretamente) acredita que: "Se eu deveria em algum momento acreditar em p e em p→q, então eu vou acreditar em q." Sendo do Tipo 1, ele ou ela também crê na proposição logicamente equivalente: B(p→q)→(Bp→Bq). Um argumentador do Tipo 2 está ciente de que as crenças dele ou dela estão fechadas sob o modus ponens.
  • $\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)$

• Argumentador do Tipo 3: Um argumentador é do Tipo 3 se ele ou ela for um argumentador normal do Tipo 2.
  • $\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p$

• Argumentador do Tipo 4: Um argumentador é do Tipo 4 se ele ou ela é do Tipo 3 e também acredita que ele ou ela é normal.
  • ${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]$

• Argumentador do Tipo G: Um argumentador do Tipo 4 que acredita que ele ou ela é modesto.
  • ${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]$

Teorema da incompletude de Gödel e a indecidibilidade doxástica

Digamos que um argumentador exato enfrenta a tarefa de designar um valor verdade a uma afirmação feita a ele ou ela. Existe uma afirmação tal qual o argumentador deverá ou permancer eternamente indeciso sobre ou perder seu ou sua exatidão. Uma solução é a afirmação:

S: "Eu nunca irei acreditar nesta afirmação"

Se o argumentador acredite em algum momento na afirmação S, ele se torna falsificado por tal fato, fazendo S uma crença falsa e portanto tornando o argumentador inexato em acreditar em S.

Portanto, desde que o argumentador seja exato, ele ou ela nunca irá crer em S. Logo, a afirmação era verdadeira, pois é exatamente isso que ela reivindicou. Segue-se posteriormente que o argumentador nunca irá ter a falsa crença de que S é verdade. O argumentador não pode crer nem que a afirmação é verdadeira nem falsa sem tornar-se inconsistente (isto é, possuir duas crenças contraditórias). Assim, o argumentador deverá permanecer para sempre indeciso sobre se a afirmação S é verdadeira ou falsa.

O teorema equivalente é que para todo sistema formal F, existe uma afirmação matemática que pode ser interpretada como "Esta afirmação não é provável no sistema formal F." Se o sistema F é consistente, nem a afirmação nem o oposto dela serão prováveis nele.

Inconsistência e peculariedade de argumentadores vaidosos

Um argumentador do Tipo 1 enfrenta a seguinte afirmação "Você não acreditará nesta sentença." Agora, uma coisa interessante é que se o argumentador acredita que ele ou ela é sempre exato, então ele ou ela se tornará inexato. Tal como um argumentador irá pensar: "Se eu creio na afirmação, então ela se tornará falsa por tal fato, o que significa que sou inexato. Isso é impossível, já que eu sempre sou exato. Portanto, eu não posso crer nessa afirmação: ela deve ser falsa."

Neste ponto, o argumentador crê que a afirmação é falsa, o que faz a afirmação verdadeira. Assim, o argumentador é inexato em acreditar que a afirmação é falsa. Se o argumentador não tivesse assumido seu ou sua exatidão, ele ou ela nunca iriam ter caído em uma inexatidão.

Também pode ser mostrado que um argumentador vaidoso é peculiar. 

Crenças auto-realizáveis

Para sistemas, nós definimos reflexividade como para todo p (na linguagem do sistema) existe um q tal que q≡(Bq→p) é provável no sistema. O Teorema de Löb (numa forma geral) é que para qualquer sistema reflexivo do Tipo 4, se Bp→p é provável no sistema, então p também é.

Inconsistência da crença na estabilidade de um qualquer

Se um argumentador consistente reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável, então ele ou ela tornar-se-á instável. Indicando o contrário, se um argumentador estável reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável, então ele ou ela se tornará inconsistente. Por que isso? Suponha que um argumentador estável reflexivo do Tipo 4 acredita que ele ou ela é estável. Nós mostraremos que ele ou ela (mais cedo ou mais tarde) acreditará em qualquer proposição p. O argumentador acredita que BBp→Bp, logo segundo o Teorema de Löb ele ou ela irá acreditar em Bp (pois ele ou ela acredita em Br→r, onde r é a proposição Bp, e então ele ou ela irá acreditar em r, que é a proposição Bp). Estando estável, ele ou ela irá, então, acreditar em p.

Veja também

• Lógica Modal
• Raymond Smullyan
• Jaakko Hintikka
• George Boolos
• Revisão de crenças
• Conhecimento comum

Leitura aprofundada

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). «DDL Unlimited. Dynamic Doxastic Logic for Introspective Agents». Erkenntnis. 51 (2–3): 353–385. doi:10.1023/A:1005577906029 
• Linski, L. (1968). «On Interpreting Doxastic Logic». Journal of Philosophy. 65 (17): 500–502. JSTOR 2024352 
• Segerberg, Kr. (1999). «Default Logic as Dynamic Doxastic Logic». Erkenntnis. 50 (2–3): 333–352. doi:10.1023/A:1005546526502 
• Wansing, H. (2000). «A Reduction of Doxastic Logic to Action Logic». Erkenntnis. 53 (1–2): 267–283. doi:10.1023/A:1005666218871