Campo vetorial de Beltrami

No cálculo vetorial, um campo vetorial de Beltrami, nomeado em homenagem a Eugenio Beltrami, é um campo vetorial de três dimensões que é paralelo ao seu próprio rotacional. Ou seja, ${\overrightarrow {F}}$ é um campo vetorial de Beltrami se:

${\overrightarrow {F}}\times ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})=0$

Portanto, ${\overrightarrow {F}}$ e $({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})$ são paralelos, sendo $({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})=\lambda {\overrightarrow {F}}$.

Se ${\overrightarrow {F}}$for solenoidal, ou seja, ${\overrightarrow {\triangledown }}\cdot {\displaystyle {\overrightarrow {F}}}=0$ , como um fluido incompressível, a identidade ${\overrightarrow {F}}\times ({\overrightarrow {\bigtriangledown }}\times {\overrightarrow {F}})\equiv -\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}+\triangledown (\triangledown \cdot {\overrightarrow {F}})$ se torna $\triangledown \times (\triangledown \times {\overrightarrow {F}})\equiv -\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}$ o que nos leva a dizer que:

$-\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}=\triangledown \times (\lambda {\overrightarrow {F}})$

e se assumirmos que $\lambda$ é uma constante, nós chegamos na simples fórmula:

$\triangledown ^{2}{\overrightarrow {F}}=-\lambda ^{2}{\overrightarrow {F}}$

O campo vetorial de Beltrami com um rotacional não nulo, corresponde a formulas Euclidianas de Contato em três dimensões.

O campo vetorial

${\overrightarrow {F}}=-z/\surd (1+z^{2})i+1/\surd (1+z^{2})j$

é um múltiplo da estrutura padrão de contato $-zi+j$, e provém um exemplo de um campo vetorial de Beltrami.