Conjunto de Cantor

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O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo.

Construção[editar | editar código-fonte]

Primeiros passos da construção do conjunto de Cantor

A construção do conjunto se faz por indução matemática:

  • Parte-se do intervalo A_0=[0,1]\,;
  • No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo:
A_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right]
  • No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo 1:
A_2=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\right]\cup\left[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right];


  • E recursivamente desta forma, no passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-1;


O conjunto de Cantor é definido como a intersecção dos conjuntos A_n produzidos:

C_{1/3}=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n

Elementos[editar | editar código-fonte]

Qualquer número real entre 0 e 1 que pode ser expresso, na base 3, apenas usando-se os dígitos (trits) 0 e 2 é um elemento deste conjunto. Por exemplo, 1/3 = 0,1 (na base 3) pode ser escrito como 1/3 = 0,02222..., logo pertence ao conjunto. 1/2 = 0,1111... (na base 3) não pode, logo não pertence ao conjunto.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O conjunto de Cantor:

Ver também[editar | editar código-fonte]