Conjunto equilibrado

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Um subconjunto S\,\! de um espaço vectorial X\,\! sobre um corpo \mathbb{K} diz-se equilibrado se, para qualquer elemento x\,\! de S\,\! e qualquer \lambda\in \mathbb{K} com |\lambda|\leq 1, se tiver \lambda x\in S.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer subespaço vectorial de X é equilibrado.
  • Se (S_i)_{i\in I} é uma família de equilibrados de X\,\!, então \bigcap\limits_{i\in I}S_i é equilibrado;
  • Se (S_n)_{n\in\N} é uma sucessão crescente de equilibrados de X\,\!, então \bigcup\limits_{n=1}^\infty S_n é equilibrado;
  • Se f:X\rightarrow Y\,\! é uma aplicação linear, tem-se que:
    • se S\,\! é equilibrado em X\,\!, então f(S)\,\! é equilibrado em Y\,\!;
    • se T\,\! equilibrado em Y\,\!, então f^{-1}(T)\,\! é equilibrado em X\,\!.
  • O invólucro convexo de um equilibrado de X\,\! é equilibrado.

Invólucro equilibrado[editar | editar código-fonte]

Ao menor equilibrado de X\,\! que contém S\,\! chama-se o invólucro equilibrado de S\,\!. Este é dado por:

\{\lambda x:x\in S, |\lambda|\leq 1\}.

O invólucro equilibrado de um subconjunto de X\,\! depende do corpo \mathbb{K}. Por exemplo, em X=\mathbb{C}, considerado como espaço vectorial real, o invólucro equilibrado de S=\{1\}\,\! é o intervalo [-1,1]\,\!. Mas, sendo X\,\! um espaço vectorial complexo, o invólucro equilibrado de S\,\! é o disco fechado, centrado na origem e raio 1.

Ver também[editar | editar código-fonte]