Conjunto equilibrado

Um subconjunto $S\,\!$ de um espaço vectorial $X\,\!$ sobre um corpo $\mathbb{K}$ diz-se equilibrado se, para qualquer elemento $x\,\!$ de $S\,\!$ e qualquer $\lambda\in \mathbb{K}$ com $|\lambda|\leq 1$, se tiver $\lambda x\in S$.

Propriedades

• Qualquer subespaço vectorial de $X$ é equilibrado.
• Se $(S_i)_{i\in I}$ é uma família de equilibrados de $X\,\!$, então $\bigcap\limits_{i\in I}S_i$ é equilibrado;
• Se $(S_n)_{n\in\N}$ é uma sucessão crescente de equilibrados de $X\,\!$, então $\bigcup\limits_{n=1}^\infty S_n$ é equilibrado;
• Se $f:X\rightarrow Y\,\!$ é uma aplicação linear, tem-se que:
  • se $S\,\!$ é equilibrado em $X\,\!$, então $f(S)\,\!$ é equilibrado em $Y\,\!$;
  • se $T\,\!$ equilibrado em $Y\,\!$, então $f^{-1}(T)\,\!$ é equilibrado em $X\,\!$.
• O invólucro convexo de um equilibrado de $X\,\!$ é equilibrado.

Invólucro equilibrado

Ao menor equilibrado de $X\,\!$ que contém $S\,\!$ chama-se o invólucro equilibrado de $S\,\!$. Este é dado por:

$\{\lambda x:x\in S, |\lambda|\leq 1\}$.

O invólucro equilibrado de um subconjunto de $X\,\!$ depende do corpo $\mathbb{K}$. Por exemplo, em $X=\mathbb{C}$, considerado como espaço vectorial real, o invólucro equilibrado de $S=\{1\}\,\!$ é o intervalo $[-1,1]\,\!$. Mas, sendo $X\,\!$ um espaço vectorial complexo, o invólucro equilibrado de $S\,\!$ é o disco fechado, centrado na origem e raio 1.

Ver também

• Conjunto absolutamente convexo