Curva de Agnesi

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Imagem ilustrando a construção da curva de Agnesi

Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. A curva tem a seguinte descrição:

Fixada uma circunferência, toma-se um ponto O nela. De qualquer outro ponto A da circunferência, traça-se a secante OA. Seja M o ponto diametralmente oposto a O. A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N. Por A, traça-se uma reta paralela a MN, e por N uma reta paralela a OM. Seja P a interseção entre essas duas retas. O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi.

Equação[editar | editar código-fonte]

Animação da construção da curva de Agnesi

Dado o círculo com raio a, considerando o ponto O na origem, a curva de Agnesi pode ser descrita pela seguinte equação:

y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}

Quando a=1/2, a equação fica da seguinte forma:

y = \frac{1}{x^2+1}.

Equações paramétricas[editar | editar código-fonte]

A equação paramétrica da curva, considerando o ângulo \theta\, entre OM e OA, é

x = 2a \tan \theta,\ y = 2a \cos ^2 \theta.\,

ou ainda, no caso de \theta\, sendo o ângulo entre OA e o eixo x, a equação paramétrica fica:

x = 2a \cot \theta,\ y=2a\sin ^2 \theta.\,

Uma terceira parametrização, que utiliza apenas funções algébricas, consiste em:


\left\{
\begin{matrix}
x & = & 2a t \\
y & = & \frac{2a} {1+t^2} .
\end{matrix}
\right.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota (y=0) é quatro vezes a área do círculo fixado, (ou seja, 4\pi a^2). Particularmente, para a=0,5, a área embaixo da curva é igual a \pi.
  • O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de 4\pi^2 a^3.

História e nome da curva[editar | editar código-fonte]

A curva de Agnesi foi estudada por Pierre de Fermat em 1666, Guido Grandi em 1701, e por Maria Agnesi in 1748.

Em diversas línguas, a curva de Agnesi é chamada "Bruxa de Agnesi", devido a um erro de tradução. John Colson, professor de matemática em Cambridge, que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês, ao invés de ler la versiera di Agnesi, que significa curva de Agnesi, leu l'avversiera di Agnesi, onde l'avversiera significa bruxa. Desde então, em muitas línguas a curva recebeu esse nome.