Teste da comparação do limite: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 27: | Linha 27: | ||
Como <math>\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\ln(n)}{n^{1/2}}=0</math>, temos que: |
Como <math>\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\ln(n)}{n^{1/2}}=0</math>, temos que: |
||
:<math>\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^2}</math> converge pois a série dos <math>a_n</math> é uma |
:<math>\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^2}</math> converge pois a série dos <math>a_n</math> é uma série harmônica generalizada que converge pelo [[teste da integral]]. |
||
{{DEFAULTSORT:Teste Comparacao Limite}} |
{{DEFAULTSORT:Teste Comparacao Limite}} |
Revisão das 15h53min de 6 de junho de 2015
O teste da comparação do limite é um método para classificar séries quanto à convergência. Este teste é uma generalização do teste da comparação.
Teste da comparação por limite (simples)
Sejam e séries de termos positivos. Então:
- Se , sendo um número e , então:
ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.
- Se , sendo , então:
a convergência da segunda série implica a convergência da primeira.
- Se , então:
a divergência da segunda série implica a divergência da primeira.
Teste da comparação por limite superior
Sejam e séries de termos positivos. Então:
- Se , temos que:
- a convergência da segunda série implica a convergência da primeira.
Demonstração
É claro que basta mostrar a segunda versão mais geral do teorema.
Do limite superior temos que existe um tal que
Aplique o teste da comparação para os somatórios a partir de N e o resultado segue.
Exemplo
Seja e .
Como , temos que:
- converge pois a série dos é uma série harmônica generalizada que converge pelo teste da integral.