Exemplo de função triangular A função triangular (também conhecida como função triângulo , ou função tenda ) é a função cujo gráfico toma a forma de um triângulo. Muitas vezes configura-se como um triângulo isósceles , com altura 1 e base 2, sendo, nesse caso, configurado como uma função triangular. Essas funções são úteis no processamento de sinais e na engenharia de sistemas de comunicação, utilizadas como representações de sinais idealizados. Especificamente a função triangular, como uma função kernel transformada da integral de onde sinais mais realistas podem ser derivados, por exemplo estimativa de densidade kernel . Tem também aplicações na modulação de código de pulso como uma forma de pulso para transmitir sinais digitais e como filtro combinado para receber os sinais. É utilizada também para definir a janela triangular , por vezes chamada de janela Bartlett .
A definição mais comum é como uma função por partes:
tri
(
x
)
=
Λ
(
x
)
=
d
e
f
max
(
1
−
|
x
|
,
0
)
=
{
1
−
|
x
|
|
x
|
<
1
0
d
i
f
e
r
e
n
t
e
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-|x|,0)\\&={\begin{cases}1-|x|\qquad &|x|<1\\0\qquad &\mathrm {diferente} \\\end{cases}}\end{aligned}}}
Equivalente, pode ser definido como a convolução de duas funções retangulares unitárias idênticas:
tri
(
x
)
=
rect
(
x
)
∗
rect
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
rect
(
x
−
τ
)
⋅
rect
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\ d\tau \\\end{aligned}}}
A função triangular também pode ser representada como o produto das funções retangulares e de valor absoluto:
tri
(
x
)
=
rect
(
x
/
2
)
(
1
−
|
x
|
)
{\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2)\left(1-|x|\right)}
Função triangular Observa-se, no entanto, que alguns autores definem a função triangular para ter a base de 1 ao invés de 2:
tri
(
2
x
)
=
Λ
(
2
x
)
=
d
e
f
max
(
1
−
2
|
x
|
,
0
)
=
{
1
−
2
|
x
|
|
x
|
<
1
2
0
d
i
f
e
r
e
n
t
e
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \max(1-2|x|,0)\\&={\begin{cases}1-2|x|\qquad &|x|<{\tfrac {1}{2}}\\0\qquad &\mathrm {diferente} \\\end{cases}}\end{aligned}}}
Na forma mais geral, a função triangular é qualquer B-Spline linear:[ 1]
tri
j
(
x
)
=
{
(
x
−
x
j
−
1
)
/
(
x
j
−
x
j
−
1
)
x
j
−
1
≤
x
<
x
j
(
x
j
+
1
−
x
)
/
(
x
j
+
1
−
x
j
)
x
j
≤
x
<
x
j
+
1
0
d
i
f
e
r
e
n
t
e
{\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1})&x_{j-1}\leq x<x_{j}\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j})&x_{j}\leq x<x_{j+1}\\0&\mathrm {diferente} \end{cases}}}
Considerando que a definição acima é um caso especial
Λ
(
x
)
=
tri
j
(
x
)
{\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x)}
onde
x
j
−
1
=
−
1
{\displaystyle x_{j-1}=-1}
x
j
=
0
{\displaystyle x_{j}=0}
x
j
+
1
=
1
{\displaystyle x_{j+1}=1}
A B-spline linear é o mesmo que uma função linear contínua ,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
∑
j
y
j
⋅
tri
j
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{j}\ y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x)}
onde
x
j
<
x
j
+
1
{\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}
j
{\displaystyle j}
A função linear por partes passa por todos os pontos, expressos como coordenadas com pares ordenados
(
x
j
,
y
j
)
{\displaystyle (x_{j},y_{j})}
f
(
x
j
)
=
y
j
{\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}
Para qualquer parâmetro
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
tri
(
t
a
)
=
∫
−
∞
∞
1
|
a
|
r
e
c
t
(
τ
a
)
⋅
r
e
c
t
(
t
−
τ
a
)
d
τ
=
{
1
−
|
t
/
a
|
|
t
|
<
|
a
|
0
diferente
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} ({\tfrac {t}{a}})&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\mathrm {rect} ({\tfrac {\tau }{a}})\cdot \mathrm {rect} ({\tfrac {t-\tau }{a}})\ d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|&|t|<|a|\\0&{\mbox{diferente}}\end{cases}}\end{aligned}}}
A transformada é facilmente determinada usando a propriedade da convolução das Transformadas de Fourier e a transformada de Fourier da função retangular :
F
{
tri
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
∗
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
⋅
F
{
rect
(
t
)
}
=
F
{
rect
(
t
)
}
2
=
s
i
n
c
2
(
f
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f)\end{aligned}}}
onde
sinc
(
x
)
=
sin
(
π
x
)
/
(
π
x
)
{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
Referências
