Grupo de permutação

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Em matemática e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de elementos de um conjunto M, com a operação binária de composição de funções.

O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações.

O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de um conjunto.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O grupo S_n\, é o grupo de todas as permutações do conjunto {1, 2, … n}.
  • Em particular, temos que:
    • S_1\, é o grupo trivial de um único elemento
    • S_2\, é isomorfo a \mathbb{Z}_2\,
    • S_3\, é o menor grupo não-abeliano (precisamente: qualquer grupo não-abeliano tem mais elementos que ele ou é isomorfo a ele)
    • S_5\, não é solúvel (o que tem implicações na tentativa de resolver uma equação do quinto grau por radicais).

Notação[editar | editar código-fonte]

Além da permutação identidade, a permutação mais simples é a permutação circular, representada por (a_1, a_2, \ldots a_n)\, e definida por f(a_i) = a_{i+1}\, para  1 \leq i <  n\,, f(a_n) = a_1\, e f(x) = x\, caso x \notin \{ a_1, a_2, \ldots a_n \}\,.

Um resultado importante é que o grupo S_n\, é gerado pelas duas permutações (1, 2) e (1, 2, …, n), no seguinte sentido: o menor subgrupo de S_n\, que inclui essas duas permutações é o próprio S_n\,.

Algumas vezes, quando não existe chance de confusão, as vírgulas são omitidas, por exemplo (1 2), (1 3 2)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Como exemplo desta notação, será escrito o grupo S3, das permutações em um conjunto de três elementos. Sem perda de generalidade, este conjunto será { 1, 2, 3 }.

Sabe-se, da análise combinatória, que este grupo possui 3! = 6 elementos.

A função identidade, que não altera nenhum elemento, será representada por (). Temos duas permutações circulares de todos os elementos, (1 2 3) e (1 3 2), e três transposições de dois elementos, (2 3), (1 3) e (1 2).

Para montar a tabela do grupo, devemos fazer as operações. Por exemplo, (1 2) (1 2 3) corresponde a levar 1→2, 2→3, 3→1 e, em seguida, levar 1→2 e 2→1, ou seja, 1→1, 2→3 e 3→2. Logo (1 2) (1 2 3) = (2 3).

A tabela deste grupo, então, é:

Grupo de Permutações em um conjunto de três elementos
\star\, () (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2)
() () (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 3) (1 2)
(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) () (1 2) (2 3) (1 3)
(1 3 2) (1 3 2) () (1 2 3) (1 3) (1 2) (2 3)
(2 3) (2 3) (1 3) (1 2) () (1 2 3) (1 3 2)
(1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 3 2) () (1 2 3)
(1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1 2 3) (1 3 2) ()

em que linha * coluna gera o elemento da tabela.

Transposições[editar | editar código-fonte]

As permutações da forma (i, j) são chamadas de transposições. Outro resultado importante é que S_n\, é gerado pelas transposições.

Outro resultado importante é que se a identidade pode ser escrita por um produto de transposições, 1 = (a_1, b_1) (a_2, b_2) \ldots (a_n, b_n)\,, então n é um número par.

Com isso, podemos definir o que são permutações pares e permutações ímpares, como aquelas que podem ser escritas, respectivamente, como um produto de um número par ou ímpar de transposicões.

Prova-se também que, para n ≥ 3, o grupo das permutações pares An é gerado pelas permutações de forma (i, j, k).

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