Identidades de Green

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado

Seja $U\,$ um conjunto aberto limitado de $\mathbb {R} ^{n}$ com fronteira $\partial U\in C^{1}\,$. Se $u,v\,\in C^{2}({\overline {U}})\,$, então:

1. $\int _{U}\Delta udx=\int _{\partial U}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}dS\,$
2. $\int _{U}Du\cdot Dvdx=-\int _{U}u\Delta vdx+\int _{\partial U}{\frac {\partial v}{\partial \nu }}udS\,$
3. $\int _{U}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int _{\partial U}({\frac {\partial v}{\partial \nu }}u-{\frac {\partial u}{\partial \nu }}v)dS\,$

onde $\nu \,$ é o vetor unitário exterior normal.