Produto de Cauchy

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Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas séries formais (isto é, não necessariamente convergentes) de números reais ou complexos. O produto de Cauchy de duas sequências \textstyle (a_n)_{n\geq0}, \textstyle (b_n)_{n\geq0}, é a convolução discreta das duas sequências, a sequência \textstyle (c_n)_{n\geq0} cujo termo geral é dado por

c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Em outras palavras, é a sequência cuja associada série de potência formal \textstyle \sum_{n=0}^\infty c_nX^n é o produto das duas séries semelhantemente associadas a (a_n)_{n\geq0} e (b_n)_{n\geq0}.

Séries[editar | editar código-fonte]

\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,

é definido mediante uma convolução discreta:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n,\qquad\mathrm{donde}\ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

para n = 0, 1, 2, …

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

\sum_{n=0}^\infty c_n

seja igual ao produto

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas séries existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.


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