Produto de Cauchy

Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas seqüências estritamente formais (ainda que não necessariamente convergentes)

$\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,$

no geral, de números reais ou complexos, define-se mediante uma convolução discreta. Sendo o produto de Cauchy:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n,\qquad\mathrm{donde}\ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

para n = 0, 1, 2, …

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

$\sum_{n=0}^\infty c_n$

seja igual ao produto

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas seqüências existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.