Quociente de Rayleigh

Em matemática, para uma dada matriz complexa Hermitiana $A$ e um vetor não-nulo $x$, o quociente de Rayleigh $R(A, x)$ é definido como:

${x^{*} A x \over x^{*} x}.$

Para matrizes reais, a condição de ser Hermitiana se reduz a ser simétrica, e para vetores reais o conjugado e transposto $x^{*}$ é simplesmente o vetor transposto $x'$. Note que $R(A, c x) = R(A,x)$ para qualquer que seja o escalar $c$. Lembre-se que uma matriz Hermitiana (ou real e simétrica)tem autovalores reais. Pode ser mostrado que o quociente de Rayleigh atinge seu valor mínimo $\lambda_{\operatorname{min}}$ (o menor autovalor de $A$) quando $x$ é $v_{\operatorname{min}}$ (o autovetor correspondente). Analogamente, $R(A, x) \leq \lambda_{\operatorname{max}}$ e $R(A, v_{\operatorname{max}}) = \lambda_{\operatorname{max}}$. O quociente de Rayleigh é usado no teorema Min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Ele também pode ser usado em algoritmos para busca da aproximação de autovalores. Especificamente, ele é a base para a iteração do quociente de Rayleigh.