Quociente de Rayleigh

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Em matemática, para uma dada matriz complexa Hermitiana A e um vetor não-nulo x, o quociente de Rayleigh R(A, x) é definido como:

{x^{*} A x \over x^{*} x}.

Para matrizes reais, a condição de ser Hermitiana se reduz a ser simétrica, e para vetores reais o conjugado e transposto x^{*} é simplesmente o vetor transposto x'. Note que R(A, c x) = R(A,x) para qualquer que seja o escalar c. Lembre-se que uma matriz Hermitiana (ou real e simétrica)tem autovalores reais. Pode ser mostrado que o quociente de Rayleigh atinge seu valor mínimo \lambda_{\operatorname{min}} (o menor autovalor de A) quando x é v_{\operatorname{min}} (o autovetor correspondente). Analogamente, R(A, x) \leq \lambda_{\operatorname{max}} e R(A, v_{\operatorname{max}}) = \lambda_{\operatorname{max}}. O quociente de Rayleigh é usado no teorema Min-max para obter valores exatos de todos os autovalores. Ele também pode ser usado em algoritmos para busca da aproximação de autovalores. Especificamente, ele é a base para a iteração do quociente de Rayleigh.