Usuário(a):R. F. Camargo/Teorema dos resíduos

Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de lacetes que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado

Seja U um aberto simplesmente conexo de C (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja {a₁,a₂,…,a_n} uma parte finita de U, seja f uma função analítica de U\{a₁,a₂,…,a_n} em C e seja γ um lacete com valores em U. Então o teorema dos resíduos afirma que

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {ind} (a_{k},\gamma )\operatorname {res} (a_{k},f)$

onde

• ind(a_k,γ) é o índice de γ relativamente a a_k;
• res(a_k,f) é o resíduo da função f em a_k.

Exemplos

• Considere-se a função f de C\{0} em C definida por f(z) = ¹⁄_z e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = cos(t) + isen(t) = e^it. Um cálculo directo revela que

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)}}\,dt=2\pi i,$

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando U = C)

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }f(z)\,dz=\operatorname {ind} (0,\gamma )\operatorname {res} (0,f)=1\times 1=1.$

• Considere-se a função f de C\{±1} em C definida por f(z) = ^z⁄_{(z² − 1)} e o lacete γ de [0,2π] em C definido por γ(t) = 2cos(t) + isen(t). Então, pelo teorema dos resíduos,

${\begin{aligned}\int _{\gamma }f(z)\,dz&=2\pi i\left(\operatorname {ind} (1,\gamma )\operatorname {res} (1,f)+\operatorname {ind} (-1,\gamma )\operatorname {res} (-1,f)\right)\\&=2\pi i\left(1\times {\frac {1}{2}}+1\times {\frac {1}{2}}\right)\\&=2\pi i.\end{aligned}}$

Relação com a fórmula integral de Cauchy

Seja f uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado { z ∈ C : |z − w| ≤ r }, para algum w ∈ C e para algum r > 0. Se se definir o lacete γ de [0,2π] em C por γ(t) = w + r.e^it, então faz sentido, para cada a ∈ C tal que |a −w| < r, considerar o integral de ^f(z)⁄_(z − a) ao longo de γ e a fórmula de Cauchy diz que

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=f(a).$

Mas, visto que ind(a,γ) = 1 e que

$\operatorname {res} \left(a,{\frac {f(z)}{z-a}}\right)=f(a),$

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia

• L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.

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