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Usuário:Lechatjaune/Testes

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Em Matemática, a raiz quadrada inteira é definida como parte inteira da Raiz quadrada de um número inteiro positivo:[1]

A raiz quadrada inteiro de n é o inteiro positivo que satisfaz a condição:[1]

Algoritmos escolares

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Ilustração da propriedade que todo quadrado perfeito é a soma dos n menores ímpares positivos.

Todo quadrado perfeito pode ser escrito como a soma dos n menores números ímpares positivos.

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

A partir dessa observação, um método de encontrar a raiz quadrada inteira consiste em observar que a diferença entre dois quadrados perfeitos e seu antecessor é um número ímpar, justamente a soma das suas raízes, por exemplo: 11² - 10² = 21 = 11 + 10 ou 23² - 22² = 45 = 23 + 22.[2] Essa propriedade vem do produto notável (x + 1)² - x² = 2x + 1 = (x + 1) + x.[3] Dessa forma, pode-se somar os números ímpares até chegar no inteiro cuja raiz quadrada se procura. O método pode ser melhorado, subtraindo do radicando um quadrado perfeito conhecido e inferior a ele. Por exemplo: ao calcular raiz quadrada de 144, subtrai-se 100, que é 10², que é equivalente a subtrair os dez primeiros primos positivos. A sequência é:

144 - 100 = 189

44 - 21 = 23

23 - 23 = 0

Portanto 23² = 12, pois foram executados mais dois passo.[4]


Referências para linear e busca binária.[5][6]

Método de Heron em aritmética inteira

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O seguinte algoritmo calcula a raiz quadrada inteira empregando apenas divisão inteira:[1]

  1. Inicializa x com qualquer inteiro não superior à raiz quadrada de n. Por exemplo, n.
  2. Atribui a y o valor de x + (n / x) / 2, em que todas as operações devem ser feitas em aritmética inteira.
  3. Se y < x, atribui a x o valor de y. Senão retorna x.



  1. a b c Cohen, Henri (1993). «A Course in Computational Algebraic Number Theory». Springer. Graduate Texts in Mathematics (em inglês): 38-39. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-3-662-02945-9. Consultado em 24 de fevereiro de 2024 
  2. Grant, Edward, ed. (1974). A source book in medieval science. Col: Source books in the history of the sciences. Cambridge, Mass: Harvard Univ. Press. p. 116 
  3. Edge, John (1979). «Square Roots». Mathematics in School (1): 7–9. ISSN 0305-7259. Consultado em 24 de fevereiro de 2024 
  4. Edge, John (1979). «Square Roots». Mathematics in School (1): 7–9. ISSN 0305-7259. Consultado em 24 de fevereiro de 2024 
  5. «A Fast Algorithm for the Integer Square Root». nuprl-web.cs.cornell.edu. Consultado em 24 de fevereiro de 2024 
  6. Higginbotham, T. F. (dezembro de 1993). «The integer square root of N via a binary search». ACM SIGCSE Bulletin (em inglês) (4): 41–45. ISSN 0097-8418. doi:10.1145/164205.164229. Consultado em 24 de fevereiro de 2024