Valoração (lógica)

Valoração-verdade

Uma valoração-verdade é uma função do conjunto de proposições atômicas para o conjunto dos valores-verdades, isto é, os valores booleanos true e false. Tecnicamente, uma valoração-verdade v é uma função v: x → BOOL, onde x = variáveis $U$ constantes, tal que existe uma única extensão ŵ: $PROP$ → $BOOL$, para toda proposição φ Є $PROP$:

ŵ(φ) = w(φ) para φ atômica

ŵ((¬α)) = NÃO (ŵ(α))

ŵ((ρ ^ θ)) = E (ŵ(ρ), ŵ(θ))

ŵ((ρ v θ)) = OU (ŵ(ρ), ŵ(θ))

ŵ((ρ → θ)) = SE-ENTÃO (ŵ(ρ), ŵ(θ))

Note que as funções booleanas utilizadas na valorização de relação-verdade são as funções abaixo:

Não: $BOOL$ → $BOOL$

Não(0) = 1

Não(1) = 0

E: $BOOL$ x $BOOL$ → $BOOL$

E(0, 0) = 0

E(0, 1) = 0

E(0, 1) = 0

E(1, 1) = 1

OU: $BOOL$ x $BOOL$ → $BOOL$

OU(0, 0) = 0

OU(0, 1) = 1

OU(1, 0) = 1

OU(1, 1) = 1

SE-ENTÃO: $BOOL$ x $BOOL$ → $BOOL$

SE-ENTÃO(0, 0) = 1

SE-ENTÃO(0, 1) = 1

SE-ENTÃO(1, 0) = 0

SE-ENTÃO(1, 1) = 1

Exemplo

Seja φ a seguinte proposição:

((¬x) ^ y) → (z v (¬y))

Seja w seguinte valoração:

w(x) = 1

w(y) = 0

w(z) = 0

ŵ(φ) = ?

RESOLUÇÃO

ŵ(((¬x) ^ y) → (z v (¬y))), tomando ((¬x) ^ y) = ρ e (z v (¬y)) = θ

SE-ENTÃO (ŵ ((¬x) ^ y), ŵ((z v (¬y)))

SE-ENTÃO (E (ŵ(¬x), ŵ(y)), OU (ŵ(z), ŵ(¬y)))

SE-ENTÃO (E( NÃO (ŵ(x), ŵ(y)), OU (ŵ(z), NÃO(ŵ(y))))

SE-ENTÃO (E (NÃO (ŵ(x)), ŵ(y)), OU (ŵ(z), NÃO(ŵ(y))))

SE-ENTÃO (E (NÃO (1), 0), OU (0, NÃO(0)))

SE-ENTÃO (E (0, 0), OU (0, 1))

SE-ENTÃO (0, 1) = 1

Portanto, ŵ(φ) = 1