Bissetriz: diferenças entre revisões
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Uma {{PU-AO45|bissetriz|bissectriz}} é a [[semirreta]] que divide um [[ângulo]] em dois ângulos congruentes. |
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== Tipos de bissetriz == |
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Existem dois tipos de bissetriz: |
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* A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo |
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* A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do [[ângulo suplementar]] a este. |
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== Propriedades de uma bissetriz == |
== Propriedades de uma bissetriz == |
Revisão das 21h01min de 27 de fevereiro de 2011
Uma bissetriz (AO 1945: bissectriz) é a semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
UHUSHUAHUSHUAHSHUAHSUHAS SESI bocaiuva do sul' lembrenci esse sit nap é bom
Propriedades de uma bissetriz
- As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
- Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
- As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.
Construção com régua e compasso
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Construction_of_bisection.svg/200px-Construction_of_bisection.svg.png)
É possível construir a bissetriz de um ângulo usando apenas régua e compasso.Para isso, é necessário seguir os seguintes passos:
- Quando se quer fazer a bissetriz em um determinado ângulo O, põe-se o compasso no ponto O e traça-se uma circunferência (de qualquer raio), que interceptará as semirretas que determinam o ângulo nos pontos A e B.
- Põe-se então o compasso no ponto A e traça-se uma circunferência (também de qualquer tamanho, mas se espera que ela não seja pequena demais)
- Repete-se o mesmo procedimento do A no ponto B (mas a circunferência tem que ter o mesmo raio que a do ponto A).
- As duas circunferências se interceptarão nos pontos C e C' (ou talvez apenas em um ponto C,dependendo do tamanho das circunferências).Traça-se então uma reta OC (ou OC').Esta reta será a bissetriz do ângulo O.
Para a bissetriz de um ângulo côncavo
A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.
As bissetrizes em um triângulo
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Triangle_cercles_exinscrits.png/200px-Triangle_cercles_exinscrits.png)
Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.
- As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
- É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é equidistante a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.
Teorema da bissetriz interna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg/240px-Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg.png)
O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.
Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:
Teorema da bissetriz externa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Bisettrice_esterna.png/300px-Bisettrice_esterna.png)
O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.
Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que: