Bissetriz

A bissetriz (AO 1945: bissectriz) é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

Tipos de bissetriz

Existem dois tipos de bissetriz:

• A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
• A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.

Propriedades de uma bissetriz

• As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
• Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
• As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.

Construção com régua e compasso

Construção de uma bissetriz

Traçado da bissetriz de um ângulo usando régua e compasso:

• Centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência qualquer, a interseção com as semirretas determina os pontos A e B.
• Centre o compasso em A e trace um arco de circunferência maior do que a metade do segmento AB, a fim de evitar imprecisões.
• Centre o compasso em B e trace o mesmo arco anterior.
• A interseção dos arcos determina o ponto C.
• A bissetriz do ângulo O passa pelos pontos C e O.

Para a bissetriz de um ângulo côncavo

A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.

Bissetrizes de um triângulo

Bissetrizes de um triângulo e círculos exinscritos e inscritos

Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.

• As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
• É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é tangente a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.

Teorema da bissetriz interna

Neste triângulo, BD:DC = AB:AC.

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente. Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:

${\frac {AB}{BD}}={\frac {AC}{CD}}$

Teorema da bissetriz externa

Neste triângulo BH:CH=AB:AC

O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:

${\frac {AC}{CH}}={\frac {AB}{BH}}$

Bibliografia

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ver também

• Lista de construções do desenho geométrico
• Lugar geométrico

Ligações externas

• Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 Mathematics Dictionary - R.C. James - Google Livros
• George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 Junior High School Mathematics - George Wentworth - Google Livros
• Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 Mathematics Dictionary - R.C. James - Google Livros