Cancelamento indevido
Um cancelamento indevido ou cancelamento acidental é um tipo particular de erro processual aritmético que fornece uma resposta numericamente correta. É feita uma tentativa de reduzir uma fração cancelando algarismos individuais no numerador e no denominador.[1] Esta não é uma operação legítima e, em geral, não fornece uma resposta correta, mas em alguns casos raros o resultado é numericamente o mesmo como se um procedimento correto tivesse sido aplicado. Os casos triviais de cancelamento de zeros à direita ou onde todos os algarismos são iguais são ignorados.
Exemplos de cancelamentos indevidos que ainda produzem o resultado correto incluem (esses e seus inversos são todos os casos na base 10 com a fração diferente de 1 e com dois algarismos):
O artigo por Boas analisa casos em bases diferentes da base 10, por exemplo, 3213 = 21 e seu inverso são as únicas soluções na base quatro com dois algarismos.[2]
O cancelamento indevido pode ocorrer com mais algarismos, como, por exemplo, 165462 = 1542, e até mesmo com diferentes quantidades de algarismos (98392 = 832).
Propriedades elementares[editar | editar código-fonte]
Quando a base é um número primo, não há nenhuma solução com dois algarismos. Isso pode ser provado por absurdo: suponha que haja uma solução. Sem perda de generalidade, podemos dizer que essa solução é
em que a dupla barra vertical indica concatenação dos algarismos. Deste modo temos
Mas , como eles são algarismos na base ; além disso, divide , como é primo e , então , logo . Portanto , o que implica que , ou seja, , o que é um absurdo pelas definições do problema. (se , então o cálculo se torna , que é um dos casos triviais excluídos.)
Outra propriedade é que o número de soluções na base é ímpar se e somente se é o quadrado de um número par. Isso pode ser provado de forma similar à anterior: suponha que tenhamos a solução
Então, fazendo a mesma manipulação, nós temos
Suponha que . Note que também é solução para a equação. Isso quase configura uma involução do conjunto de soluções para si mesmo. Mas podemos também substituir para obter , que só tem soluções se é quadrado. Seja . Tirando a raiz quadrado temos . Já que o máximo divisor comum de é um, sabemos que . Sabendo que , então as soluções são , isto é, tem um número impar de soluções quando é um quadrado par. A recíproca da afirmação pode ser provada notando que todas essas soluções satisfazem a requisição inicial.
Ver também[editar | editar código-fonte]
Referências
- ↑ Weisstein, Eric W. «Anomalous Cancellation» (em inglês). MathWorld
- ↑ a b Boas Jr., Ralph Philip (1979). «Ch. 6: Anomalous Cancellation». In: Honsberger, Ross. Mathematical Plums (em inglês). Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 113–129. ISBN 978-0883853009