Coordenadas toroidais

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Ilustração das coordenadas toroidais, que são obtidas pela rotação do sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre um eixo separando seus focos. O foco está localizado a uma distância vertical 1 do eixo z. A esfera vermelha é a isosuperfície σ=30°, o toro azul é a isosuperfície τ=0,5, e o semi-plano amarelo é a isosuperfície φ=60°. O semi-plano verde marca o plano x-z plane, a partir do qual φ é medido. O ponto preto está na intersecção dessas três isosuperfícies, nas coordenas cartesianas (0.996, -1.725, 1.911).

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos e em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio no plano plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo é o eixo de rotação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Interpretação geométrica das coordenadas σ e τ de um ponto P.

A definição mais comum das coordenadas toroidais é

onde a coordenada de um ponto é igual ao ângulo e a coordenada é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias e

Transformação inversa[editar | editar código-fonte]

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

Fatores de escalas[editar | editar código-fonte]

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais e são

enquanto o fator de escala azimutal é

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

e o laplaciano é toma a forma

Referências[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I (New York: McGraw-Hill). p. 666. 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (New York: McGraw-Hill). p. 182. LCCN 59-14456. 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry (New York: D. van Nostrand). pp. 190–192. LCCN 55-10911. 
  • Moon PH, Spencer DE (1988). «Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing ed. (New York: Springer Verlag). pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]