Diofanto

Título da página da edição de 1621 de 'Aritmética' de Diofanto, traduzido para o Latim por Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Diophantus de Alexandria(em grego clássico: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, nascido entre 201 AC e 215, morreu entre 285 e 299 com 84 anos), às vezes chamado de "o pai da álgebra", foi um matemático grego de Alexandria e autor de uma série de livros chamado Aritmética, muitos dos quais foram perdidos. Esses textos lidam com a resolução de equações algébricas. Ao ler a edição de Diophantus' Arithmetica de Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Pierre de Fermat concluiu que uma certa equação considerada por Diofanto não tinha solução, e notou na margem sem elaboração que ele tinha encontrado "uma verdadeira maravilhosa prova dessa proposição", agora referida como Último teorema de Fermat. Isso levou a tremendos avanços à Teoria dos números, ao estudo das equações Diofantinas("Geometria Diofantina") e aproximações Diofantinas permanecem importantes em áreas de pesquisas matemáticas. Diofanto criou o termo παρισὀτης para se referir a uma igualdade aproximada. O termo foi traduzido como "adaequalitat" em Latim e se tornou a técnica de adequalidade desenvolvida por Pierre de Fermat para achar a máxima de funções e linhas tangentes para curvas. Diofanto foi o primeiro matemático grego que reconheceu frações como números, assim ele permitiu números racionais positivos para coeficientes e soluções. No uso moderno, equações diofantinas são normalmente equações algébricas com coeficientes inteiros em que soluções inteiros são procuradas. Diofanto também fez avanços na notação matemática.

Biografia

Pouco é conhecido sobre a vida de Diofanto. Ele morou em Alexandria, no Egito, provavelmente entre 200AC e 214 a 284 ou 298. Muito do nosso conhecimento sobre a vida de Diofanto é derivada de uma antologia grega do século V de jogos com números e quebra-cabeças criado por Metrodorus. Um dos problemas(às vezes chamado de seu epitáfio) diz:

'Aqui jaz Diofanto,'

Através da arte algébrica, a pedra diz o quão velho:

Deus lhe deu a infãncia um sexto da sua vida,

Um doze avos mais como jovem enquanto bigodes cresciam frequentemente;

E ainda depois um dezesete avos o casamento começava;

Depois de cinco anos veio saltando um novo filho

Ai de mim!, o querido filho do mestre e sábio

Depois de alcançar a metade da medida da vida de seu pai o destino frio o levou. Depois de consolar o seu destino com a ciência dos números por quatro anos, ele terminou sua vida.

Esse quebra-cabeça implica que a idade de Diofanto $x$ pode ser expressa como:

$x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4$

que nos da $x$ um valor de 84 anos. Porém, a precisão dessa informação não pode confirmada independentemente. Na cultura popular, esse quebra-cabeça foi o de número 142 no Professor Layton and Pandora's Box como um dos mais difíceis do jogo, em que precisou ser liberado resolvendo outros problemas antes.

Aritmética

A aritmética é o trabalho principal de Diofanto e o trabalho mais proeminente na matemática grega. É a coleção de problemas dados soluções numéricas de ambas equações determinadas e indeterminadas. Dos treze livros originais em que Aritmética consistiu só seis sobreviveram embora existem alguns que acreditam que os quatro livros árabes descobertos em 1968 são também de Diofanto. Alguns problemas diofantinos de Aritmética foram encontrados em fontes árabes. Deveria ser mencionado aqui que Diofanto nunca usou métodos gerais em suas soluções. Hermann Hankel, renomeado matemático alemão fez o seguinte comentário sobre Diofanto:

"Nosso autor(Diofanto) nem o menor traço de um método geral e compreensivo é discernível; cada método chama por algum método especial que recusa a trabalhar até mesmo com os problemas relacionados. Por essa razão é difícil para os estudantes modernos resolverem o centésimo primeiro problema mesmo depois de ter estudado cem soluções diofantinas."Predefinição:Dubious

História

Assim como muitos outros matemáticos gregos, Diofanto foi esquecido na Europa Ocidental durante a chamada Idade das trevas já que o estudo do grego antigo tinha declinado. A porção da Aritmética grega que sobreviveu, porém, foi, como todos os textos gregos antigos transmitidos para o começo do mundo moderno, copiado e conhecidos pelos estudiosos bizantinos. Em adição, algumas porções de Aritmética provavelmente sobreviveu na tradição árabe. Em 1463 o matemático alemão Regiomontanus escreveu:

"Ninguém ainda traduziu do grego para o latim os treze livros de Diofantos, em que a verdadeira flor de toda a aritmética se esconde..."

Aritmética foi traduzida pela primeira vez do grego para o latim por Bombelli em 1570 mas a tradução nunca foi publicada. Porém, Bombelli pegou emprestado muitos problemas para seu próprio livro Algebra. O editio princeps de Aritmética foi publicado por Xylander em 1575. A melhor tradução latina de Aritmética foi feita por Bachet em 1621 e se tornou a primeira edição latina que foi amplamente disponível. Pierre de Fermat possuía uma cópia, a estudou e fez anotações nas margens.

Margem escrita por Fermat e Chortasmenos

Problema II.8 em 'Aritmética'(edição de 1670), anotada com o comentário de Fermat que se tornou o Último teorema de Fermat.

A edição de Aritmética de 1621 feita por Bachet ganhou fama depois de Pierre de Fermat escreveu seu último teorema nas margens de sua cópia:

"Se um inteiro n é maior que 2, então $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ tem uma solução em inteiros não zeros a, b,c. Eu tenho uma verdadeira maravilhosa prova dessa proposição que esta margem é muito estreita para conter."

A prova de Fermat nunca foi encontrada e o problema de encontrar a prova do teorema seguiu não resolvida por séculos. A prova foi finalmente encontrada em 1994 por Andrew Wiles depois de trabalhar nisso por sete anos. Acredita-se que Fermat nao tinha a prova que ele afirmou ter. Embora a cópia original em que Fermat escreveu isso esteja perdida hoje, o filho de Fermat editou a edição seguinte de Diofanto publicada em 1670. Embora o texto é infeiro ao da edição de 1621, as anotações de Fermat(incluindo o "último teorema") foi impressa nessa versão.

Fermat não foi o primeiro matemático que escreveu em suas próprias margens para Diofanto; o estudioso bizantino John Chortasmenos(1370-1437) tinha escrito "A tua alma, Diofanto, fique com Satanás por causa da dificuldade de seus teoremas" próximo ao mesmo problema.

Outros trabalhos

Diofanto escreveu vários outros livros além de Aritmética, mas muito poucos deles sobreviveram.

The Porisms

O próprio Diofanto refere-se ao trabalho que consiste na coleção de lemas chamados The Porisms(ou Porismata), mas esse livro está completamente perdido. Alguns estudiosos acham que The Porisms talvez tenha sido uma seção de Aritmética que agora está perdida. Embora The Porisms está perdido, nós sabemos três lemas contidos lá já que Diofanto se refere a eles em Aritmética. Um lema declara que a diferença do cubo de dois racionais é igual a soma do cubo de outros dois racionais, exemplo, dado qualquer a e b, com a>b, existe c e d, todos positivos e racionais, que

$a^{3}-b^{3}=c^{3}+d^{3}.\$

Números poligonais e elementos geométricos

Diofanto é também conhecido por ter escrito sobre números poligonais, um tópico de grande interesse de Pitágoras e da Escola pitagórica. Fragmentos de um livro lidando com números poligonais é sobrevivente. um livro chamado Preliminaries to the Geometric Elements fou tradicionalmente atribuido à Heron de Alexandria. Foi estudado recentemente por Wilbur Knorr que sugeriu que a atribuição a Herón está incorreta e o autor verdadeiro é Diofanto.

Influência

O trabalho de Diofanto teve uma grande influência no modo de fazer sexo. Edições de Aritmética exerceu uma profunda influência no desenvolvimento da álgebra na Europa no final do século XVI e ao longo dos séculos XVII e XVII. Diofanto e seus trabalhos também influenciou matemáticos árabes e foi de grande fama entre os matemáticos árabes. O trabalho de Diofanto criou a fundação para o trabalho na álgebra e de fato muito da matemática avançada é baseada na álgebra. Até onde sabemos Diofanto não afetou tanto as terras do Oriente e o quanto ele afetou a Índia é uma questão de debate.

O pai da álgebra?

Diofanto é frequentemente chamado de "o pai da álgebra" por que ele contribuiu muito para a teoria dos números, notação matemática e por causa que Aritmética contem o mais cedo conhecido uso da syncopated notação. Porém, parece que muitos dos métodos para resolução de equações lineares e quadráticas usadas por Diofanto remete aos matemáticos babilônicos. Por essa e outras razões, o historiador matemático Kurt Vogel escreveu: "Diofanto não foi, como ele foi sempre chamado, o pai da álgebra. No entanto, sua notável, se assistemática coleção de problemas indeterminados é uma realização singular que não foi completamente apreciada e desenvolvida mais profundamente até muito depois."

Análise diofantina

Hoje a análise de Diofanto é a área de estudo onde soluções inteiras são procuradas para equações e equações Diofantinas são equações polinomiais com coeficientes inteiros em que só soluções inteiras são procuradas. Geralmente é difícil de dizer se uma dada equação Diofantina é solúvel. A maioria dos problemas na aritmética levam a soluções quadráticas. Diofanto olhou para três diferentes tipos de equações quadráticas:

$ax^{2}+bx=c$, $ax^{2}=bx+c$, $ax^{2}+c=bx$

A razão pela qual haviam três casos para Diofanto enquanto hoje só temos um é que ele não tinha nenhuma noção do zero e ele evitava coeficientes negativos consideram que números $a,b,c$ para todos serem positivos em cada um dos casos acima. Diofanto sempre satisfez com uma solução racional e não requereu um número completo, o que quer dizer que ele aceitou frações como soluções para seus problemas. Diofanto considerou soluções com negativos ou raiz quadrada de irracionais como "inúteis", "sem sentido' e até "absurda". Para dar um exemplo específico, ele chamou a equação $4=4x+20$ "absurda" por que ela levaria a um valor negativo de x. Uma solução foi tudo que ele procurava em uma equação quadrática. Não há evidência que sugira que Diofanto notou que possa haver duas soluções para uma equação quadrática. Ele também considerou equações quadráticas simultâneas.

Notação matemática

Diofanto fez importantes avanços na notação matemática. Ele foi o primeiro a usar notação algébrica e simbolismo. Antes dele todos escreviam equações completamente. Diofanto introduziu um simbolismo algébrico que usava uma notação resumida para operações frequentemente ocorridas e uma abreviação para desconhecidos e para as potências dos desconhecidos. Embora Diofanto fez avanços importantes no simbolismo, ele ainda não tinha a notação necessária para expressar métodos mais gerais. Isso fez com que seu trabalho fosse mais preocupado com problemas particulares do que com situações gerais. Algumas das limitações das notações de Diofanto são que ele tinha notação para um desconhecido e quando problemas envolviam mais de um desconhecido, Diofanto reduzia para expressar "primeiro desconhecido", "segundo desconhecido", etc. em palavras. Ele também não tinha um símbolo para um número geral n. Quando nós iríamos escrever $(12+6n)/(n^{2}-3)$, Diofanto tinha que recorrer a construções como: ... um número sêxtuplo aumentada por doze, que é dividido pela diferença em que o quadrado de um número excede três. Álgebra ainda tinha um longo caminho antes de problemas mais gerais poderem ser escritos e resolvidos sucintamente.

Referências

• Allard, A. "Les scolies aux arithmétiques de Diophante d'Alexandrie dans le Matritensis Bibl.Nat.4678 et les Vatican Gr.191 et 304" Byzantion 53. Brussels, 1983: 682-710.
• Christianidis, J. "Maxime Planude sur le sens du terme diophantien "plasmatikon"", Historia Scientiarum, 6 (1996)37-41.
• Christianidis, J. "Une interpretation byzantine de Diophante", Historia Mathematica, 25 (1998) 22-28.
• Heath, Sir Thomas, Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, 1885, 1910.
• Robinson, D. C. and Luke Hodgkin. History of Mathematics, King's College London, 2003.
• Sesiano, Jacques. Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic translation attributed to Qusṭā ibn Lūqā, Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0-387-90690-8.
• Tannery, P. L. Diophanti Alexandrini Opera omnia: cum Graecis commentariis, Lipsiae: In aedibus B.G. Teubneri, 1893-1895.
• Ver Eecke, P. Diophante d’Alexandrie: Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Bruges: Desclée, De Brouwer, 1921.

Leitura aprofundada

• Heath, Sir Thomas (1981). A history of Greek mathematics. 2. Cambridge University Press: Cambridge 
• Vogel, Kurt (1970). «Diophantus of Alexandria». Dictionary of Scientific Biography. 4. New York: Scribner 

Ligações externas

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Diofanto. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Diophantus's Riddle Diophantus' epitaph, by E. Weisstein
• Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History.
• Tannery's edition of the Works of Diophantus, now in the public domain (Classical Greek)
• Review of Sesiano's Diophantus Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica, by Jan P. Hogendijk
• Latin translation from 1575 by Wilhelm Xylander