Domínio de integridade
Aspeto
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Um domínio de integridade (ou anel de integridade)é um anel com as seguintes propriedades adicionais:
- (elemento neutro)
- (comutatividade)
- (não existem divisores de zero)
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- O conjunto dos números inteiros
- Todo corpo é um domínio de integridade
- Analogamente, todo domínio de integridade finito é um corpo: seja a um elemento não-nulo de um domínio de integridade finito D. Então a função é injetiva (caso contrário, f(x) = f(y), a x = a y logo a (x - y) = 0 e D teria divisores de zero), logo sobrejetiva, portanto existe b tal que f(b) = 1.
- Para qualquer corpo ou domínio de integridade D, o anel dos polinômios D[x] é um domínio de integridade.
- Os anéis finitos não são domínios de integridade quando n for um número composto, porque sendo então em Quando n for um número primo, é um corpo (logo, é um domínio de integridade).
Corpo de frações
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Para todo domínio de integridade D existe um corpo K, tal que todo elemento de K pode ser escrito da forma a/b, sendo
Este é o corpo de frações de D, e é único no seguinte sentido algébrico: se é outro corpo em que todo elemento de pode ser escrito como a/b com então K e são isomorfos.