Equação de Binet

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A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.

A equação[editar | editar código-fonte]

A forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa em função do ângulo . Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro em função de . Defina o momento angular específico como , onde é o momento angular e a massa. A equação de Binet[1] é

Demonstração[2] [editar | editar código-fonte]

A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é

A conservação do momento angular requer que

As derivadas de em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de em relação ao ângulo:

Combinando as equações acima, obtemos

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O problema de Kepler[editar | editar código-fonte]

O tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial

Se o ângulo é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é

A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde é o semi-latus rectum e é a excentricidade da órbita.

A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é[3]

,

onde é a velocidade da luz e é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos

Onde é a carga elétrica e a permissividade do vácuo.

O problema de Kepler inverso[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?

Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos

Assim, a lei de forças é

que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital aos valores físicos ou , obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.

Espirais hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Uma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma

As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação

A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se , a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando . Se , a solução é a espiral hiperbólica. Se , a solução é a espiral logarítmica.

Movimento circular fora de eixo[editar | editar código-fonte]

Embora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é

Diferenciando duas vezes e utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, obtemos:

Assim, a lei de forças é

Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a , é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver

,

que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Referências