Métrica de Reissner-Nordström

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Em física e astronomia, a métrica Reissner-Nordström é uma solução das equações de campo de Einstein no espaço vazio, a qual corresponde ao campo gravitacional de uma corpo esfericamente simétrico de mass M carregado eletricamente. Foi desenvolvida por Gunnar Nordström e Hans Reissner, e presta-se ao tratamento dos corpos massivos chamados exatamente pelo nome da métrica adequada de buracos negros de Reissner-Nordström. Tal métrica pode se escrita como


c^2 {d \tau}^{2} =
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2}

onde

τ é o "tempo próprio" (tempo medido por um relógio movendo-se coma partícula) em segundos,
c é a velocidade da luz em metros por segundo,
t é a coordenada tempo (medida por um relógio estacionário no infinito) em segundo,
r é a coordenada radial (circunferência de um círculo centrado sobre a estrela divida por 2π) em metros,
θ é a colatitude (ângulo referente ao Norte) em radianos,
φ é a longitude em radianos, e
rs é o raio de Schwarzschild (em metros) do corpo massivo, o qual é relacionado a sua mass M por
r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
onde G é a contante gravitacional, e
rQ é uma escala de comprimento correspondente à carga elétrica Q da massa
r_{Q}^{2} = \frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^{4}}
onde 1/4πε0 é a constante de força de Coulomb.[1]

No limite que a carga Q (ou equivalentemente, a escala de comprimento rQ) tenderá a zero, esta tende a métrica de Schwarzschild. A clássica teoria Newtoniana da gravidade deve então ser tomada no limite com o raio rs/r tendendo a zero. No limite, a métrica volta à métrica de Minkowski para a relatividade especial

c^{2} d\tau^{2} = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\phi^{2}\,

Na prática, o raio rs é quase sempre extremamente pequeno. Por exemplo, o raio de Schwarzschild rs da Terra é aproximadamente 9 mm (38  de polegada), onde um satélite em uma órbita geosíncrona tem um raio r que é aproximadamente quatro bilhões de vezes maior, em 42.164 km (26.200 milhas). Quando na superfície da Terra, as correções para a gravitação Newtoniana são somente uma parte em um bilhão. O raio somente torna-se grande próximo a buracos negros e outros objetos ultradensos tais como estrelas de nêutrons.

Buracos negros carregados[editar | editar código-fonte]

Embora buracos negros com r_{Q} \ll r_{s} sejam similares a buracos negros de Schwarzschild, eles têm dois horizontes: o horizonte de eventos e um horizonte de Cauchy interno. Como usual, o horizonte de eventos para o espaço-tempo pode ser confiavelmente encontrado pela análise da equação

g^{00}= 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} = 0

Esta equação quadrática para r tem as soluções

r_\pm = \frac{r_{s} \pm \sqrt{r_{s}^2 - 4r_{Q}^2}}{2}.

Estes horizontes concêntricos tornam-se degenerados para 2r_{Q}=r_{s} a qual corresponde a um buraco negro extremo. Buracos negros com 2r_{Q}>r_{s} acreditam-se não existir na natureza porque eles conteriam uma "singularidade nua"; sua aparência iria contradizer a hipótese da censura cósmica de Roger Penrose aqual geralmente acredita-se ser verdadeira. Teorias com supersimetria usualmente guarantem que tais buracos negros "superextremos" não podem existir.

O potencial eletromagnético é

A_{\alpha} = \left(\frac{Q}{r}, 0, 0, 0\right).

Se monopolos magnéticos são incluídos na teoria, então uma generalização para incluir carga magnética P é obtida por substituir Q^2 por Q^2 + P^2 na métrica e incluir o termo P \cos \theta d \phi no potencial eletromagnético.

Referências

  1. Landau 1975.
  • Reissner, H (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein'schen Theorie". Annalen der Physik 50: 106–120.
  • Nordström, G (1918). "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26: 1201–1208.
  • Adler, R; Bazin M, and Schiffer M (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, pp. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
  • Wald, RM (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

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