Equação de Chapman-Kolmogorov

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Em matemática, especificamente na teoria Markoviana de processos estocásticos, a equação de Chapman–Kolmogorov é uma identidade que relaciona as distribuições de probabilidade conjunta de diferentes conjuntos de coordenadas de um processo estocástico. A equação foi derivada independentemente pelos matemáticos Sydney Chapman e Andrey Kolmogorov.

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

Suponha que { fi } é uma coleção indexada de variáveis aleatórias, isto é, um processo estocástico. Seja

a função de densidade da probabilidade conjunta dos valores da variável aleatória f1 para fn. Então, a equação de Chapman–Kolmogorov é

ou seja, a distribuição marginal sobre a variável de perturbação.[1]

(Note que não se assumiu ainda nada sobre o ordenamento temporal ou qualquer outro das variáveis aleatórias — a equação acima aplica-se à distribuição marginal de qualquer uma.)

Aplicação às cadeias de Markov[editar | editar código-fonte]

Quando o processo estocástico que se considera aqui é [[Cadeias de Markov|Markoviano, a equação de Chapman–Kolmogorov é equivalente a uma identidade de densidades de transição. Na configuração de cadeia de Markov, assume-se que i1 < ... < in. Então, por causa da propriedade de Markov,

onde a probabilidade condicional é a probabilidade de transição entre os tempos . Assim, a equação de Chapman–Kolmogorov assume a forma

Informalmente, isso diz que a probabilidade de ir do estado 1 ao estado 3 pode ser encontrado nas probabilidades de ir de 1 a um estado intermediário 2 e, daí, de 2 a 3, ao adicionar todos os estados intermediários 2 possíveis.

Quando a distribuição de probabilidade no estado espacial de uma cadeia de Markov é discreta e a cadeia de Markov é homogênea, a equação de Chapman–Kolmogorov pode ser expressa em termos de um produto de matrizes (possivelmente de dimensão infinita), então:

onde P(t) é a matriz de transição do salto t, por exemplo, P(t) é a matriz tal que a entrada (i,j) contenha a probabilidade de a cadeia mover-se do estado i ao estado j nos passos t.

Como um corolário, isso sugere que para calcular a matriz de transição do salto t, basta acrescer a matriz de transição do salto um à potência t, isto é

A forma diferencial da equação de Chapman–Kolmogorov é também conhecida como equação mestre.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ross, Sheldon M. (2014). «Chapter 4.2: Chapman−Kolmogorov Equations». Introduction to Probability Models 11th ed. [S.l.: s.n.] p. 187. ISBN 978-0-12-407948-9 

Referências

  1. Divaldo Portilho Fernandes Júnior e Valdivino Vargas Júnior, Conceitos e Simulação de Cadeias de Markov, SBPCnet, Goiânia. Disponível aqui.