Conjunto de Vitali: diferenças entre revisões
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Da forma como foi construído o conjunto, temos: |
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:<math>V\subseteq [0,1]\,</math> |
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Então se <math>x\in V\,</math> e <math>r_j \in [-1,1]\,</math>, vale |
Então, se <math>x\in V\,</math> e <math>r_j \in [-1,1]\,</math>, vale <math>x+r_j \in [-1,2]\,</math>. |
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Agora seja <math>x\in[0,1]\,</math> então, da construção do conjunto: |
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Agora, <math>r=y-x, x,y\in[0,1]\Longrightarrow r\in [-1,1] \,</math> |
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Como <math>r\in\mathbb{Q}\,</math>, <math>r=r_j\,</math> para algum <math>j\,</math> e as inclusões estão estabelecidas. |
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Agora, seja <math>x\in[0,1]\,</math>. Então, existe <math>y\in V\,</math> tal que <math>x \sim y\,</math>, ou seja, <math>x-y=r,\, r\in \mathbb{Q}\,</math>. |
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Vamos mostrar agora que os conjuntos <math>V+r_j\,</math> são disjuntos. Para tal, considere um elemento <math>x\,</math> na [[intersecção]] de dois destes conjuntos: |
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:<math>x\in \left(V+r_i\right)\cap\left(V+r_j\right)\,</math> |
:<math>x\in \left(V+r_i\right)\cap\left(V+r_j\right)\,</math> |
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Então: |
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Como o '''conjunto de Vitali''' foi construído tomando '''apenas um''' elemento de cada classe de equivalência, <math>y=z\,</math>, o que implica <math>r_i=r_j\,</math> e, portanto, <math>i=j\,</math>. |
Como o '''conjunto de Vitali''' foi construído tomando '''apenas um''' elemento de cada classe de equivalência, <math>y=z\,</math>, o que implica <math>r_i=r_j\,</math> e, portanto, <math>i=j\,</math>. |
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Finalmente podemos provar que <math>V\,</math> não é mensurável. Partimos da estimativa: |
Finalmente, podemos provar que <math>V\,</math> não é mensurável. Partimos da estimativa: |
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:<math>\mu([0,1])\le \mu^*(S)\le \mu([-1,2])\,</math> |
:<math>\mu([0,1])\le \mu^*(S)\le \mu([-1,2])\,</math> |
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:<math>1\le \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}(V+r_j)\right)\le 3\,</math> |
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Para terminar o resultado considere <math>V\,</math> mensurável e observe que a medida de Lebesgue é <math>\sigma</math>-aditiva e invariante por translações. O que nos leva |
Para terminar o resultado considere <math>V\,</math> mensurável e observe que a medida de Lebesgue é <math>\sigma</math>-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão: |
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:<math>1\le \sum_{j=1}^{\infty}\mu(V)\le 3\,</math> |
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O [[somatório]] é finito apenas se <math>\mu(V)\,</math> for nulo, caso que a soma é também nula e |
O [[somatório]] é finito apenas se <math>\mu(V)\,</math> for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1. |
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[[Categoria:Teoria da medida]] |
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Revisão das 00h35min de 26 de novembro de 2013
Na matemática, o conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.
Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.
Construção
Seja a relação em definida por . Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.
Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.
O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue
Denote por um conjunto de Vitali e por a medida exterior de Lebesgue.
Considere uma enumeração para e construa o conjunto:
- , onde:
Vamos mostrar agora as inclusões:
Da forma como foi construído o conjunto, temos:
Então, se e , vale .
Agora, seja . Então, existe tal que , ou seja, .
Como , temos que e para algum . Logo, .
Vamos mostrar agora que os conjuntos são disjuntos. Para tal, considere um elemento na intersecção de dois destes conjuntos:
Então:
- com
Logo:
Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, , o que implica e, portanto, .
Finalmente, podemos provar que não é mensurável. Partimos da estimativa:
Para terminar o resultado considere mensurável e observe que a medida de Lebesgue é -aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:
O somatório é finito apenas se for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.