Conjunto de Vitali

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Na matemática, o conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Construção[editar | editar código-fonte]

Seja a relação em definida por . Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.


O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue[editar | editar código-fonte]

Denote por um conjunto de Vitali e por a medida exterior de Lebesgue.

Considere uma enumeração para e construa o conjunto:

, onde:

Vamos mostrar agora as inclusões:

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

Então, se e , vale .


Agora, seja . Então, existe tal que , ou seja, .

Como , temos que e para algum . Logo, .


Vamos mostrar agora que os conjuntos são disjuntos. Para tal, considere um elemento na intersecção de dois destes conjuntos:

Então:

com

Logo:

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, , o que implica e, portanto, .

Finalmente, podemos provar que não é mensurável. Partimos da estimativa:

Para terminar o resultado considere mensurável e observe que a medida de Lebesgue é -aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

O somatório é finito apenas se for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.