Teoria axiomática: diferenças entre revisões
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[[álgebra booleana|álgebras de Boole]] pode ser considerada consistente, pois possui um [[Interpretação (lógica)|modelo]] finito. |
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Quando as regras utilizadas correspondem à [[Lógica proposicional|lógica clássica]], se a teoria for inconsistente, a partir de uma contradição pode ser derivado qualquer enunciado, trivializando o sistema. |
Quando as regras utilizadas correspondem à [[Lógica proposicional|lógica clássica]], se a teoria for inconsistente, a partir de uma contradição pode ser derivado qualquer enunciado, trivializando o sistema. |
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Independência: Dada uma teoria axiomática ou um conjunto de axiomas, um axioma é dito independente se ele não pode ser derivado dos demais. Por exemplo, o enunciado da [[Grupo abeliano|comutatividade]] é independente em [[teoria de grupos]], pois existem grupos não comutativos. Na geometria, o [[Postulado das paralelas]] é considerado independente dos demais. |
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Completude: Uma teoria axiomática é dita completa se para cada [[proposição]] ''P'' da teoria ([[Fórmula bem formada|fórmula]] sem variáveis livres), ou bem pode ser deduzida ''P'' ou bem pode ser deduzida a negação de ''P''. |
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Como exemplos de teorias matemáticas completas podemos citar a teoria dos [[Corpo algebricamente fechado|corpos algebricamente fechados]] de característica fixa<ref>{{cite conference| first=Jon| last=Barwise|author=Barwise J.| editor=Barwise J.|booktitle=Handbook of Mathematical Logic |title=An Introduction to First Order Logic |year=1999 |publisher=North Holland |location=Amsterdam |isbn=0-444-86388-5 |pages=p. 16}}</ref> e a teoria das [[álgebra booleana|álgebras de Boole]] sem átomos.<ref>{{cite book | first=Chang |last=Keisler|author=Chang, C.C.,Keiler H.J. |title=Model Theory |year=1992 |publisher=North Holland |location=Amsterdam |isbn=0-444-88054-2 |pages=39}}</ref> |
Como exemplos de teorias matemáticas completas podemos citar a teoria dos [[Corpo algebricamente fechado|corpos algebricamente fechados]] de característica fixa<ref>{{cite conference| first=Jon| last=Barwise|author=Barwise J.| editor=Barwise J.|booktitle=Handbook of Mathematical Logic |title=An Introduction to First Order Logic |year=1999 |publisher=North Holland |location=Amsterdam |isbn=0-444-86388-5 |pages=p. 16}}</ref> e a teoria das [[álgebra booleana|álgebras de Boole]] sem átomos.<ref>{{cite book | first=Chang |last=Keisler|author=Chang, C.C.,Keiler H.J. |title=Model Theory |year=1992 |publisher=North Holland |location=Amsterdam |isbn=0-444-88054-2 |pages=39}}</ref> |
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Revisão das 00h18min de 18 de outubro de 2016
 | Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Sistema axiomático (pode-se discutir o procedimento aqui). (desde setembro de 2016) |
Em matemática e em lógica, uma teoria axiomática é uma teoria baseada num conjunto de axiomas a partir dos quais são deduzidos teoremas utilizando procedimentos bem definidos (por exemplo, um conjunto de regras lógicas). Os axiomas são estabelecidos sem dedução e tomados como ponto de partida para a dedução dos teoremas. Entretanto, os teoremas podem ser utilizados para a dedução de outros teoremas.
Como condição adicional é geralmente colocado que o conjunto de axiomas seja decidível no sentido de ser um conjunto recursivo. Todo conjunto finito de axiomas é decidível e, portanto, aceitável com essa condição.
História
Apesar de sistemas axiomáticos existirem desde a antiguidade (por exemplo a geometria euclidiana do livro Elementos de Euclides), as teorias axiomáticas formalizadas baseiam-se nos desenvolvimentos da lógica matemática acontecidos a partir das últimas décadas do século XIX, devido aos trabalhos de Frege, Post, Russell, Whitehead, Hilbert, Skolem e outros.
No desenvolvimento das teorias axiomáticas no século XX, foi muito significativa a influência do Programa de Hilbert que propus que as teorias matemáticas deveriam ser formalizadas como teorias axiomáticas, sendo as deduções realizadas de maneira puramente formal, utilizando regras lógicas formais previamente definidas. No sexto dos seus problemas, Hilbert propus ainda que as teorias físicas também deveriam ser axiomatizadas á maneira das teorias matemáticas.
Propriedades
Consistência: Uma teoria axiomática é dita consistente quando nela não é derivada uma contradição, ou seja, não são derivados uma proposição e a sua negação. Por exemplo, a teoria das álgebras de Boole pode ser considerada consistente, pois possui um modelo finito.
Quando as regras utilizadas correspondem à lógica clássica, se a teoria for inconsistente, a partir de uma contradição pode ser derivado qualquer enunciado, trivializando o sistema.
Independência: Dada uma teoria axiomática ou um conjunto de axiomas, um axioma é dito independente se ele não pode ser derivado dos demais. Por exemplo, o enunciado da comutatividade é independente em teoria de grupos, pois existem grupos não comutativos. Na geometria, o Postulado das paralelas é considerado independente dos demais.
Completude: Uma teoria axiomática é dita completa se para cada proposição P da teoria (fórmula sem variáveis livres), ou bem pode ser deduzida P ou bem pode ser deduzida a negação de P.
Como exemplos de teorias matemáticas completas podemos citar a teoria dos corpos algebricamente fechados de característica fixa[1] e a teoria das álgebras de Boole sem átomos.[2]
O Teorema da incompletude de Gödel demonstra que as teorias matemáticas habituais da aritmética (como a Aritmética de Peano), se são consistentes, então não são completas.
Consistência relativa: Uma teoria axiomática T1 é consistente relativa a uma teoria axiomática T2 se a consistência de T2 implica a consistência de T1. Por exemplo, a Aritmética de Peano é consistente relativa a Teoria de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
Referências
- ↑ Barwise J., Jon (1999). «An Introduction to First Order Logic». In: Barwise J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam: North Holland. pp. p. 16. ISBN 0-444-86388-5
|last=e|author=redundantes (ajuda) - ↑ Chang, C.C.,Keiler H.J., Chang (1992). Model Theory. Amsterdam: North Holland. 39 páginas. ISBN 0-444-88054-2
|last=e|author=redundantes (ajuda)
