Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das pertubações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.
Aplicação a uma equação do segundo grau
Considere a equação do segundo grau:
Quando , esta equação possui duas raízes, e . Quando , suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:
O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:
E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:
Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro :
Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:
Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:
Aplicação a uma equação do terceiro grau
Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:
É fácil ver que as raizes dessa equação quando são dadas por , pois:
Vejamos como estas raízes são pertubadas quando o parâmetro é pequeno. Para tal, definimos a série:
e substituimos na equação: