Teoria das perturbações

 Nota: Se procura pelo conceito da física quântica, veja teoria perturbacional.

Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "proximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau

Considere a equação do segundo grau:

$x^{2}-\varepsilon x-1=0\,$

Quando $\varepsilon =0\,$, esta equação possui duas raízes, $x=1\,$ e $x=-1\,$. Quando $\varepsilon \neq 0\,$, suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\\x_{2}&=&{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon -{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}\right)\end{array}}\,$

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {4+\varepsilon ^{2}}}={\sqrt {1+\left(\varepsilon /2\right)^{2}}}=1+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})$

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&1+{\frac {1}{2}}\varepsilon +{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\\x_{2}&=&-1+{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{4})\end{array}}\,$

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entando ter encontrar essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro $\varepsilon \,$:

${\begin{array}{rcl}x&=&a_{0}+a_{1}\varepsilon +a_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \\\end{array}}\,$

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:

${\begin{array}{rcl}\left(a_{0}^{2}-1\right)+a_{0}\left(2a_{1}-1\right)\varepsilon +\left(2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}-a_{1}\right)\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{3})=0\end{array}}\,$

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:

${\begin{array}{rcl}a_{0}&=&\pm 1\\a_{1}&=&{\frac {1}{2}}\\a_{2}&=&{\frac {a_{1}-a_{1}^{2}}{2a_{0}}}={\frac {1}{8a_{0}}}=\pm {\frac {1}{8}}\end{array}}\,$

Aplicação a uma equação do terceiro grau

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

$x^{3}-x+\varepsilon =0\,$

É fácil ver que as raízes dessa equação quando $\varepsilon =0\,$ são dadas por $-1,0{\hbox{ e }}1$, pois:

$x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1)\,$

Vejamos como estas raízes são perturbadas quando o parâmetro $\varepsilon \,$ é pequeno. Para tal, definimos a série:

$x=a_{0}+a_{1}\varepsilon +a_{2}\varepsilon ^{2}+\cdots \,$

e substituimos na equação:

${\begin{array}{rcl}\left[a_{0}^{3}-a_{0}\right]+\left[a_{1}(3a_{0}^{2}-1)+1\right]\varepsilon +\left[3a_{1}^{2}a_{0}+3a_{0}^{2}a_{2}-a_{2}\right]\varepsilon ^{2}=O(\varepsilon ^{3})\\\end{array}}\,$

Igualando a zero os termos de mesma ordem em $\varepsilon \,$, obtemos:

${\begin{array}{rcl}x_{1}&=&-1-{\frac {1}{2}}\varepsilon +{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{3})\\x_{2}&=&0+\varepsilon +O(\varepsilon ^{3})\\x_{3}&=&1-{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}+O(\varepsilon ^{3})\\\end{array}}\,$

Aplicação a uma equação diferencial ordinária

Considere o problema de valor inicial não linear:

$\left\{{\begin{array}{rcl}u'(x)+u(x)&=&\varepsilon u^{3}(x),x>0\\u(0)&=&1\end{array}}\right.\,$

Procurando soluções da forma:

$u(x)=u_{0}(x)+\varepsilon u_{1}(x)+O(\varepsilon ^{2})\,$

encontramos:

$\left\{{\begin{array}{rcl}u_{0}'(x)+u_{0}(x)&=&0,x>0\\u_{0}(0)&=&1\end{array}}\right.\,$

e

$\left\{{\begin{array}{rcl}u_{1}'(x)+u_{1}(x)&=&u_{0}^{3},x>0\\u_{1}(0)&=&0\end{array}}\right.\,$

Cujas soluções são:

${\begin{array}{rcl}u_{0}(x)&=&e^{-x}\\u_{1}(x)&=&{\frac {1}{2}}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}\end{array}}\,$

Isto produz uma aproximação de $u(x)\,$ da forma:

$u(x)=e^{-x}+\varepsilon {\frac {1}{2}}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon ^{2})\,$

Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária

Convergência não-uniforme para a função f(x)

Considere o seguinte problema de valor de contorno:

$\left\{{\begin{array}{l}-\varepsilon ^{2}u''(x)+u(x)=f(x),~~0<x<1\\u(0)=u(1)=0\end{array}}\right.\,$

Aqui, $f(x)\,$ é uma função suave e o parâmetro $\varepsilon \,$ é positivo. Da teoria de Sturm-Liouville, inferimos que o problema possui uma solução única para cada $\varepsilon >0\,$, mas quando $\varepsilon =0\,$, a equação diferencial se transforma na igualdade $u(x)=f(x)\,$, o que pode ser incompatível com os valores de $f(x)\,$ nos pontos $x=0\,$ e $x=1\,$. Para resolver esse problema, escrevemos $u(x)\,$ como a soma de três termos:

$u(x)=f(x)+v(x)+\varepsilon ^{2}w(x)\,$

onde $v(x)\,$ e $w(x)\,$ satisfazem os seguintes problemas de contorno:

$\left\{{\begin{array}{l}-\varepsilon ^{2}v''(x)+v(x)=0,~~0<x<1\\v(0)=-f(0)~~~v(1)=-f(1)\end{array}}\right.\,$

e

$\left\{{\begin{array}{l}-\varepsilon ^{2}w''(x)+w(x)=f''(x),~~0<x<1\\w(0)=0~~~w(1)=0\end{array}}\right.\,$

A primeira equação pode ser resolvida exatamente:

$v(x)={\frac {f(0)}{e^{2/\varepsilon }-1}}\left[e^{x/\varepsilon }-e^{(2-x)/\varepsilon }\right]+{\frac {f(1)}{e^{2/\varepsilon }-1}}\left[e^{(1-x)/\varepsilon }-e^{(x+1)/\varepsilon }\right]\,$

A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:

$|w(x)|\leq \sup _{[0,1]}|f''(x)|\,$

E assim obtemos uma aproximação para $u(x)\,$:

$u(x)=f(x)+{\frac {f(0)}{e^{2/\varepsilon }-1}}\left[e^{x/\varepsilon }-e^{(2-x)/\varepsilon }\right]+{\frac {f(1)}{e^{2/\varepsilon }-1}}\left[e^{(1-x)/\varepsilon }-e^{(x+1)/\varepsilon }\right]+O(\varepsilon ^{2})\,$