Fração contínua: diferenças entre revisões
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<math>a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}</math>, em que o primeiro termo, <math>a_0</math>, é um número inteiro e os demais números <math>a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots, </math> são números inteiros positivos. |
<math>a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}</math>, em que o primeiro termo, <math>a_0</math>, é um número inteiro e os demais números <math>a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots, </math> são números inteiros positivos. |
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== Frações Continuadas Simples == |
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'''Frações continuadas simples''' são expressões da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots}}}}</math>, em que todos os números <math>b_j</math> são iguais a 1. Uma expressão da forma <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}}</math> é uma fração continuada simples '''finita'''. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por <math>[a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]</math> e <math>[a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n]</math>. Observe que o termo <math>a_0</math> é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado. |
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Exemplos: |
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Um exemplo mais detalhado: a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada. |
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<math>\frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = [1; 2, 3]</math> |
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<math>-\frac{18}{5} = -4 + \frac{2}{5} = -4 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = -4 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = [-4; 2, 2]</math> |
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Usando o algoritmo da divisão, tem-se: <math>344 = 4 \times 77 + 36</math>. Logo, |
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Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5. |
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Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao [[Algoritmo de Euclides]] para o cálculo do [[máximo divisor comum]] (MDC) entre dois números inteiros. |
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Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada. |
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Usando-se o algoritmo da [[divisão]], obtem-se <math>344 = 4 \times 77 + 36</math>. Logo, |
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<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}</math>. |
<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}</math>. |
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A fração ao lado direito da expressão anterior é uma [[fração própria]] e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma |
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<math>\frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. |
<math>\frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. Com isso, obtem-se a expressão <math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. |
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<math>\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}</math>. |
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A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, |
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, <math>\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}</math>. |
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<math>\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}</math>. |
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Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: |
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: |
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4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}</math>. |
4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}</math>. |
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Observa-se que não há como ir além desse resultado pois na divisão de 5 por 1 |
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma <math>\frac{1}{\frac{5}{1}}</math>, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número <math>\frac{344}{77}</math> na forma de fração continuada é '''finita''' e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5]. |
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É interessante observar que a representação decimal do número <math>\frac{344}{77}</math> é infinita e a representação |
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É interessante observar que a [[representação decimal]] do número <math>\frac{344}{77}</math> é ''infinita'', a saber, a [[dízima periódica]] 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita. |
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na forma de fração continuada é finita. |
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É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, ''todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita''. |
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Portanto, toda ''fração continuada infinita'' é uma representação de um [[número irracional]]. |
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=== Frações Continuadas Simples Infinitas === |
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É conveniente denotar repetições periódicas da forma <math>[a_0; a_1, a_2, r, s, r, s, \ldots ]</math> |
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por <math>[a_0; a_1, a_2, \overline{r, s} ]</math>. |
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'''Exemplo.''' Vamos verificar que <math>[2; 2, 2, 2, \ldots] = [2; \overline{2}\,] = \sqrt{2}+1</math>. De fato, como |
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<math>(\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) = 1</math>, podemos escrever, <math>\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1} </math> |
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Também são verdadeiras as igualdades |
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<math>\sqrt{2}+1 = \sqrt{2} + (2 - 1) = 2 + (\sqrt{2}-1)</math>. |
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Pode-se concluir que |
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<math>\sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}</math> |
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A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão: |
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<math> \sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1} |
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= 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}} |
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= 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}} |
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= \ldots |
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= 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} |
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</math> |
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O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe. |
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É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: |
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<math> |
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x = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} \iff |
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x-2 = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} = \frac{1}{x} \iff |
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(x-2)x = 1 \iff x^2 - 2x - 1=0 |
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</math> |
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Como <math>x</math> é um número positivo, concluímos que <math>x=1+\sqrt{2}</math>. |
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Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas. |
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== Frações Parciais == |
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Se <math>x = [a_0; a_1, a_2, \ldots]</math>, chamamos de '''convergentes''' ou '''frações parciais''' a sequência de números |
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racionais <math>c_0, c_1, c_2, \ldots </math> dados por: |
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<math>c_0 = a_0, |
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c_1 = a_0+\frac{1}{a_1}, |
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c_2 = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}, \cdots, |
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c_n = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_n}}}, \cdots </math>, |
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ou seja, |
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<math>c_0 = [a_0], c_1 = [a_0; a_1], c_2 = [a_0; a_1, a_2], \cdots, |
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c_n = [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n], \cdots </math> |
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A existência do limite da sequência das frações parciais <math>(c_n)_n </math> deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas. |
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Alguns exemplos: |
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* O [[número de ouro]], dado por <math> \frac{1+\sqrt{5}}{2} </math> pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: <math> [1;\overline{1}\,]</math>. |
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Os convergentes do número de ouro são <math>[1] = 1, [1; 1] = 1+ \frac{1}{1} = 2, [1; 1, 1] = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{1}} = |
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\frac{3}{2}, [1; 1, 1, 1] = \frac{5}{3}, [1; 1, 1, 1, 1] = \frac{8}{5}, [1; 1, 1, 1, 1, 1] = \frac{13}{8}, \cdots</math> |
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É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro <math>(\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8},\ldots )</math> |
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formam a [[sequência de Fibonacci]] |
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<math>1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \cdots</math> |
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* <math>\sqrt{3}= [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots] = [1; \overline{1, 2} ]</math> |
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* <math>\sqrt{7}= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, \ldots] = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]</math> |
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== Contribuições Importantes == |
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Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto. |
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* [[Rafael Bombelli]] (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que |
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<math>\sqrt{13} = 3+ \frac{4}{6+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\ldots}}}</math> |
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* [[William Brouncker]] (1620 – 1684) escreveu a expansão |
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<math> \frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\frac{81}{2+ \ldots}}}}}</math>, que foi uma descoberta muito importante para a história do número <math>\pi</math>. |
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* [[Leonhard Euler]] (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que |
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explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como |
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frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita. |
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É interessante saber que o número <math>e</math>, definido por <math>e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n</math> cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como |
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<math> e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \cdots]</math> |
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* [[Johann Heinrich Lambert]] (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número <math>\pi</math> é irracional, usando frações continuadas para calcular <math>\tan(x)</math> da forma |
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<math>\tan(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3}{x}-\frac{1}{\frac{5}{x} - \cdots}}}</math> |
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Lambert usou essa expressão para concluir que se <math>x</math> é um número |
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racional não nulo, então <math>\tan(x)</math> não pode ser um número racional. Sendo assim, como <math>\tan(\frac{\pi}{4})=1</math>, então <math>\pi</math> não pode ser racional. |
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* [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736 – 1813) demonstrou que ''as raízes irracionais de [[equações quadráticas]] têm expansão na forma de fração continuada periódica''. |
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== Referências == |
== Referências == |
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COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem |
COURANT, R., ROBBINS, H. , ''O que é matemática: uma abordagem |
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elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000. |
elementar de métodos e conceitos'', Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000. |
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DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics |
DUNE, E., MCCONNELL, M. , ''Pianos and Continued Fractions'', Mathematics |
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magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115. |
magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115. |
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OLDS, C. D. |
OLDS, C. D., ''Continued Fractions'', Mathematical Association of America, |
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V. 9, New York, 1963. |
V. 9, New York, 1963. |
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Revisão das 18h27min de 12 de janeiro de 2011
Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma , bem como . A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.
Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma , em que o primeiro termo, , é um número inteiro e os demais números são números inteiros positivos.
Frações Continuadas Simples
Frações continuadas simples são expressões da forma , em que todos os números são iguais a 1. Uma expressão da forma é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por e . Observe que o termo é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.
Exemplos:
Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.
Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.
Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número na forma de fração continuada.
Usando-se o algoritmo da divisão, obtem-se . Logo, .
A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma . Com isso, obtem-se a expressão .
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, .
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: .
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma , chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].
É interessante observar que a representação decimal do número é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.
É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.
Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.
Frações Continuadas Simples Infinitas
É conveniente denotar repetições periódicas da forma por .
Exemplo. Vamos verificar que . De fato, como , podemos escrever,
Também são verdadeiras as igualdades . Pode-se concluir que
A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:
O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.
É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:
Como é um número positivo, concluímos que .
Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.
Frações Parciais
Se , chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais dados por:
,
ou seja,
A existência do limite da sequência das frações parciais deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.
Alguns exemplos:
- O número de ouro, dado por pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: .
Os convergentes do número de ouro são É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro formam a sequência de Fibonacci
Contribuições Importantes
Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.
- Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que
- William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão
, que foi uma descoberta muito importante para a história do número .
- Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que
explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.
É interessante saber que o número , definido por cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como
- Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número é irracional, usando frações continuadas para calcular da forma
Lambert usou essa expressão para concluir que se é um número racional não nulo, então não pode ser um número racional. Sendo assim, como , então não pode ser racional.
- Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.
Referências
COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, V. 9, New York, 1963.