Fração contínua

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma ${\frac {1}{2}}$, bem como ${\frac {5}{10}}$. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma $a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+\cdots }}}}}}$, em que o primeiro termo, $a_{0}$, é um número inteiro e os demais números $a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots ,$ são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples

Frações continuadas simples são expressões da forma $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$, em que todos os números $b_{j}$ são iguais a 1. Uma expressão da forma $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\ddots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}$ é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ e $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$. Observe que o termo $a_{0}$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: ${\frac {10}{7}}=1+{\frac {3}{7}}=1+{\frac {1}{\frac {7}{3}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3}}}}=[1;2,3]$

$-{\frac {18}{5}}=-4+{\frac {2}{5}}=-4+{\frac {1}{\frac {5}{2}}}=-4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}=[-4;2,2]$

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número ${\frac {344}{77}}$ na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se $344=4\times 77+36$. Logo, ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}$.

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma ${\frac {1}{\frac {77}{36}}}$. Com isso, obtém-se a expressão ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}$.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, ${\frac {77}{36}}=2+{\frac {5}{36}}=2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}$.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: ${\frac {344}{77}}=4+{\frac {36}{77}}=4+{\frac {1}{\frac {77}{36}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\frac {36}{5}}}}}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{7+{\frac {1}{5}}}}}}$.

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma ${\frac {1}{\frac {5}{1}}}$, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número ${\frac {344}{77}}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número ${\frac {344}{77}}$ é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas

É conveniente denotar repetições periódicas da forma $[a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,\ldots ]$ por $[a_{0};a_{1},a_{2},{\overline {r,s}}]$.

Exemplo. Vamos verificar que $[2;2,2,2,\ldots ]=[2;{\overline {2}}\,]={\sqrt {2}}+1$. De fato, como $({\sqrt {2}}+1)\cdot ({\sqrt {2}}-1)=1$, podemos escrever, ${\sqrt {2}}-1={\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}$

Também são verdadeiras as igualdades ${\sqrt {2}}+1={\sqrt {2}}+(2-1)=2+({\sqrt {2}}-1)$. Pode-se concluir que ${\sqrt {2}}+1=2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}$

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

${\sqrt {2}}+1=2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}}}}}=\ldots =2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}$

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: $x=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}\iff x-2={\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}={\frac {1}{x}}\iff (x-2)x=1\iff x^{2}-2x-1=0$

Como $x$ é um número positivo, concluímos que $x=1+{\sqrt {2}}$.

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais

Se $x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$, chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais $c_{0},c_{1},c_{2},\ldots$ dados por:

$c_{0}=a_{0},c_{1}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}}},c_{2}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}}}}},\cdots ,c_{n}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}},\cdots$,

ou seja, $c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],\cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\cdots$

A existência do limite da sequência das frações parciais $(c_{n})_{n}$ deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

• O número de ouro, dado por ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: $[1;{\overline {1}}\,]$.

Os convergentes do número de ouro são $[1]=1,[1;1]=1+{\frac {1}{1}}=2,[1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}={\frac {3}{2}},[1;1,1,1]={\frac {5}{3}},[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5}},[1;1,1,1,1,1]={\frac {13}{8}},\cdots$ É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro $({\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},\ldots )$ formam a sequência de Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$

• ${\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]=[1;{\overline {1,2}}]$

• ${\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=[2;{\overline {1,1,1,4}}]$

Contribuições Importantes

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

• Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

${\sqrt {13}}=3+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+\ldots }}}}}}$

• William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{2+{\frac {9}{2+{\frac {25}{2+{\frac {49}{2+{\frac {81}{2+\ldots }}}}}}}}}}$, que foi uma descoberta muito importante para a história do número $\pi$.

• Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número $e$, definido por $e=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]$

• Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número $\pi$ é irracional, usando frações continuadas para calcular $\tan(x)$ da forma

$\tan(x)={\frac {1}{{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{{\frac {3}{x}}-{\frac {1}{{\frac {5}{x}}-\cdots }}}}}}$ Lambert usou essa expressão para concluir que se $x$ é um número racional não nulo, então $\tan(x)$ não pode ser um número racional. Sendo assim, como $\tan({\frac {\pi }{4}})=1$, então $\pi$ não pode ser racional.

• Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Exemplos de frações contínuas

Alguns exemplos de frações contínuas:
${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]$
${\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]$
${\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4,4,\dots ]$
${\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]$
$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]$
$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]$

Referências

COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.

DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.

OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, V. 9, New York, 1963.