Derivada de segunda ordem

A derivada de segunda ordem de uma função, ou segunda derivada, representa a derivada da derivada desta função. Em símbolos, a derivada de segunda ordem pode ser representada por $y\prime \prime$ ou ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$, sendo y função de x. De forma rudimentar, pode-se dizer que a derivada de segunda ordem de uma função mede a taxa de variação da própria variação desta função. Por exemplo, a derivada de segunda ordem da posição de um objeto em relação ao tempo é a aceleração instantânea deste objeto, que seria a taxa de variação da velocidade do mesmo.

Fórmulas e cálculos

A derivada de segunda ordem de uma função $f(x)$ (em relação a $x$) é a derivada da derivada da função $f(x)$, ambas em relação a x. Matematicamente,

${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)$.

Sua representação de limite é: ${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{\Delta x^{2}}}$.

Por ser a derivada da derivada a integral da derivada de segunda ordem é $\int {{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}dx}={\frac {df(x)}{dx}}+C$.

Analogamente, as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de dois argumentos $f(x,y)$ são:

${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}})$, ${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}})$ e ${\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial }{\partial y}}({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}})$.

Aplicação

A concavidade de uma função é obtida através da derivada segunda, igualando-a a zero. Após obter as raízes da derivada segunda põe-se numa reta ordenada, com sua respectivas raízes. Fazendo análise: Substitui-se um número facilitador nas extremidades e entre as raízes, se o sinal obtido for positivo a concavidade é voltada para cima; se for negativo a concavidade é voltada para baixo.

Derivada de segunda ordem na física

Se $x(t)$ é a função que do movimento rectilíneo de um objeto, a derivada de segunda ordem $x\prime \prime (t)$ do mesmo no instante $t$ representa sua aceleração. Analogamente, se $P(t)$ é uma função vectorial que especifica o movimento de um ponto, o vetor aceleração do mesmo será ${\frac {d^{2}P(t)}{dt^{2}}}$. Para as derivadas de segunda ordem de funções vetoriais, a mesma regra vale: é a derivada da derivada da função vectorial, no caso.