Teorema de Liouville: diferenças entre revisões
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O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de |
O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de maneira bastante elementar |
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== Demonstrações == |
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Seja ''z'' ∈ '''C'''. Para cada ''r'' > |''z''|, tem-se, |
Seja ''z'' ∈ '''C'''. Para cada ''r'' > |''z''|, tem-se, pela [[desigualdades de Cauchy|desigualdade de Cauchy]] (com ''n'' = 1), |''f′''(''z'')| < ''M''/''r''. Mas então |
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:<math>|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math> |
:<math>|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math> |
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Logo, ''f′''(''z'') = 0. Como isto acontece para cada ''z'' ∈ '''C''', ''f'' é constante. |
Logo, ''f′''(''z'') = 0. Como isto acontece para cada ''z'' ∈ '''C''', ''f'' é constante. |
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Sejam ''z'' e ''w'' números complexos e seja ''r'' um número real tal que |''z''|,|''w''| ≤ ''r''. Seja |
Sejam ''z'' e ''w'' números complexos e seja ''r'' um número real tal que |''z''|,|''w''| ≤ ''r''. Seja |
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:<math>\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}</math> |
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Então, pela [[fórmula integral de Cauchy]] |
Então, pela [[fórmula integral de Cauchy]], vale o seguinte |
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:<math>f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du</math> e <math>f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du</math> |
:<math>f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du</math> e <math>f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du</math> |
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== Corolário == |
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O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante ''f'' não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de ''f'' não era densa. Então haveria algum número complexo ''w'' e algum ''r'' > 0 tal que a imagem de ''f'' não conteria nenhum elemento do disco de raio ''r'' centrado em ''w''. Mas então |
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante ''f'' não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de ''f'' não era densa. Então haveria algum número complexo ''w'' e algum ''r'' > 0 tal que a imagem de ''f'' não conteria nenhum elemento do disco de raio ''r'' centrado em ''w''. Mas então definimos |
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:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math> |
:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math> |
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a função ''g'' seria inteira não constante e, para cada ''z'' ∈ '''C''' ter-se-ia |
a função ''g'' seria inteira não constante e, para cada ''z'' ∈ '''C''' ter-se-ia |
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:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math> |
:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math> |
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que ''g'' e limitada, contradizendo o teorema de Liouville. |
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==Generalizações== |
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Revisão das 20h08min de 25 de junho de 2020
O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de maneira bastante elementar
Demonstrações
Em ambas as demonstrações, seja M um majorante de |f|.
Primeira demonstração
Seja z ∈ C. Para cada r > |z|, tem-se, pela desigualdade de Cauchy (com n = 1), |f′(z)| < M/r. Mas então
Logo, f′(z) = 0. Como isto acontece para cada z ∈ C, f é constante.
Segunda demonstração
Sejam z e w números complexos e seja r um número real tal que |z|,|w| ≤ r. Seja
Então, pela fórmula integral de Cauchy, vale o seguinte
- e
pelo que
Logo,
Corolário
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante f não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um conjunto denso. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de f não era densa. Então haveria algum número complexo w e algum r > 0 tal que a imagem de f não conteria nenhum elemento do disco de raio r centrado em w. Mas então definimos
a função g seria inteira não constante e, para cada z ∈ C ter-se-ia
que g e limitada, contradizendo o teorema de Liouville.
Generalizações
Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se f é uma função inteira não constante, então a sua imagem é C ou C \ {a}, para algum a ∈ C. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se f for uma função inteira não polinomial e se w ∈ C, então a equação f(z) = w tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.
Bibliografia
- L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.
- J. Conway, Functions of One Complex Variable, Berlin: Springer-Verlag, 1978.
- R. Remmert, Classical Topics on Complex Function Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1998.