Teorema de Arzelà-Ascoli: diferenças entre revisões
Linha 2: | Linha 2: | ||
==Enunciado da versão real== |
==Enunciado da versão real== |
||
Seja <math>\mathfrak{F}\,</math> uma |
Seja <math>\mathfrak{F}\,</math> uma sequência de funções <math>f:[a,b]\to\mathbf{R}\,</math> com as seguintes propriedades: |
||
*[[Equicontinuidade]], ou seja, para cada <math>\varepsilon>0\,</math> e cada <math>x\,</math> no domínio, existe um <math>\delta>0\,</math> tal que <math>|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon, \forall f\in\mathfrak{F}\,</math> |
*[[Equicontinuidade]], ou seja, para cada <math>\varepsilon>0\,</math> e cada <math>x\,</math> no domínio, existe um <math>\delta>0\,</math> tal que <math>|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon, \forall f\in\mathfrak{F}\,</math> |
||
*[[Equilimitação]], ou seja, existe uma constante <math>C\,</math> tal que <math>|f(x)|<C, \forall x\in[a,b], \forall f\in\mathfrak{F}\,</math> |
*[[Equilimitação]], ou seja, existe uma constante <math>C\,</math> tal que <math>|f(x)|<C, \forall x\in[a,b], \forall f\in\mathfrak{F}\,</math> |
||
Então existe uma [[ |
Então existe uma [[subseqüência]] <math>f_n(x)\,</math> e uma [[função contínua]] <math>f(x)\,</math> tal que <math>f_n(x)\,</math> [[convergência uniforme|converge uniformemente]] para <math>f(x)\,</math>. |
||
De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma: |
|||
Considere uma sequencia de funções contínuas <math>(f_n(x))\,</math> definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é [[uniformemente limitada]] e [[equicontínua]], então existe uma subsequencia que [[convergência uniforme|converge uniformemente]]. |
|||
Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente. |
|||
{{esboço-matemática}} |
{{esboço-matemática}} |
Revisão das 15h24min de 19 de dezembro de 2007
Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais.
Enunciado da versão real
Seja uma sequência de funções com as seguintes propriedades:
- Equicontinuidade, ou seja, para cada e cada no domínio, existe um tal que
- Equilimitação, ou seja, existe uma constante tal que
Então existe uma subseqüência e uma função contínua tal que converge uniformemente para .
De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
Considere uma sequencia de funções contínuas definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequencia que converge uniformemente.
Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.