Teorema de Liouville: diferenças entre revisões
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O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de forma simples. |
O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de forma simples. |
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==Demonstração== |
==Demonstração== |
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Suponhamos que <math>f</math> é inteira, e que <math>|f(z)|</math> ≤ <math>M</math> para todo o <math>z</math> ∈ '''C'''. Como <math>f</math> é inteira, então é [[função analítica|analítica]] em '''C'''. Seja <math>z</math> ∈ '''C'''. Então, para cada <math>r>|z|</math>, tem-se, pelo [[Teorema da majoração de Cauchy]] <math>|f'(z)|< M/r</math>. Mas então |
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Suponhamos que f(z) é inteira, e que |f(z)|≤ M para todo o z pertencente a C. |
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:<math>|f'(z)|\le\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math> |
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Como f(z) é inteira então é [[função analítica|analítica]] em C. |
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Logo, <math>f'(z)=0</math>. Como isto acontece para cada <math>z</math> ∈ '''C''', <math>f</math> é constante. |
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Logo pelo [[Teorema da majoração de Cauchy]] temos que, numa [[bola (matemática)|bola]] de raio r centrada na origem |f'(z)|< M/r. |
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Novamente, como f(z) é inteira, pode ser representada pela sua [[série de Taylor]] convergente e o seu [[raio de convergência]] |
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é +∞, logo podemos ter r →∞. Assim, |f'(z)|=0 donde f'(z)=0. Logo f(z) é constante. |
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[[Categoria:Análise complexa]] |
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Revisão das 00h10min de 13 de fevereiro de 2008
O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de forma simples.
Demonstração
Suponhamos que é inteira, e que ≤ para todo o ∈ C. Como é inteira, então é analítica em C. Seja ∈ C. Então, para cada , tem-se, pelo Teorema da majoração de Cauchy . Mas então
Logo, . Como isto acontece para cada ∈ C, é constante.
