Teorema de Liouville

O teorema de Liouville é um teorema de análise complexa que diz que uma função complexa inteira e limitada é constante. Este teorema permite demonstrar o teorema fundamental da álgebra de forma simples.

Demonstrações

Em ambas as demonstrações, seja $M$ um majorante de $|f|$.

Primeira demonstração

Seja $z$ ∈ C. Para cada $r>|z|$, tem-se, pelas desigualdades de Cauchy (com n = 1), |f’(z)| < M/r. Mas então

$|f'(z)|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }{\frac {M}{r}}=0.$

Logo, f’(z) = 0. Como isto acontece para cada $z$ ∈ C, f é constante, pelo teorema dos acréscimos finitos.

Segunda demonstração

Sejam $z$ e $w$ números complexos e seja $r$ um número real tal que $|z|,|w|$ ≤ $r$. Seja

${\begin{array}{rccc}\gamma (r)\colon &[0,2\pi ]&\longrightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &re^{it}.\end{array}}$

Então, pela fórmula integral de Cauchy:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}du$ e $f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-w}}du$

pelo que

${\begin{aligned}|f(z)-f(w)|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}du-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}du\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)}{u-z}}-{\frac {f(u)}{u-w}}du\right|\\&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\gamma (r)}{\frac {f(u)(z-w)}{(u-z)(u-w)}}du\right|\\&\leqslant {\frac {2\pi rM|z-w|}{2\pi (r-|z|)(r-|w|)}}\\&={\frac {r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}}\cdot \end{aligned}}$

Logo,

$|f(z)-f(w)|\leqslant \lim _{r\rightarrow +\infty }{\frac {r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}}=0.$

Corolário

O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante $f$ não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um conjunto denso. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de $f$ não era densa. Então haveria algum número complexo $w$ e algum $r>0$ tal que a imagem de $f$ não conteria nenhum elemento do disco de centro $r$ centrado em $w$. Mas então se se definisse

${\begin{array}{rccc}g\colon &\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &{\frac {1}{w-f(z)}},\end{array}}$

a função $g$ seria inteira não constante e, para cada $z$ ∈ C ter-se-ia

$|g(z)|=\left|{\frac {1}{w-f(z)}}\right|={\frac {1}{|w-f(z)|}}<{\frac {1}{r}},$

pelo que $g$ seria limitada, o que contradiz o teorema de Liouville.

Generalizações

Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se $f$ é uma função ineira não constante, então a sua imagem é C ou C \ $\{a\}$, para algum $a$ ∈ C. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se $f$ for uma função inteira não polinomial e se $w$ ∈ C, então a equação $f(z)=w$ tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.

Bibliografia

• Conway, J. B.; Functions of One Complex Variable, Berlim: Springer-Verlag, 1978
• Matos, Coimbra de; Santos, José Carlos, Curso de Análise Complexa, Lisboa: Dinternal, 2000
• Remmert, R, Classical Topics on Complex Function Theory, BerliM: Springer-Verlag, 1998