Evolvente

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Na geometria diferencial de curvas, uma evolvente é uma curva obtida de outra dada curva anexando a esta um cordão tenso imaginário e traçando um ponto da corda ao enrolá-la na curva; ou, ao contrário, ao desenrolá-la. É uma rolete na qual a curva rolante é uma linha reta contendo o ponto gerador. Por exemplo, uma evolvente é aproximadamente o caminho seguido por um espirobol quando a corda de ligação é enrolada no poste. Se o poste tem seção transversal circular, então a curva descrita pela bola é uma evolvente do círculo.

Alternativamente, outra forma de construir a evolvente de uma curva é substituir a corda esticada por um segmento de reta que é tangente à curva em uma extremidade, enquanto a outra extremidade traça a evolvente. O comprimento do segmento de reta é alterado pelo mesmo comprimento de arco que é percorrido sobre a curva quando o ponto tangente move-se ao longo da curva.

A evoluta de uma evolvente é a curva original, subtraidas as porções de curvatura zero ou indefinida. Ver as ilustrações evoluta e evolvente.

Se a função é uma parametrização natural da curva (i.e. para todo s), então : parametriza a evolvente.

Curva paramétrica[editar | editar código-fonte]

As equações de uma curva evolvente para uma função parametricamente definida ( x(t) , y(t) ) são:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Involut cir.jpg
A evolvente de um círculo
(reversa, desenrolando)
A evolvente de uma catenária, uma tractriz

Evolvente de um círculo[editar | editar código-fonte]

A evolvente de um círculo tem uma forma semelhante a uma espiral de Arquimedes.

onde é o raio do círculo e é um parâmetro

  • Em coordenadas polares a evolvente de um círculo tem as equações param[etricas

onde é o raio do círculo e é um parâmetro.

A evolvente de um círculo pode ser dada na forma

.

Leonhard Euler propos o uso da evolvente de um círculo para a forma dos dentes de uma engrenagem, a forma que é atualmente usada na maioria delas, denominadas engrenagens evolventes.

Evolvente de uma catenária[editar | editar código-fonte]

A evolvente de uma catenária pelo seu vértice é uma tractriz. Em coordenadas cartesianas a evolvente é dada por

onde t é um parâmetro e sech é a secante hiperbólica (1/cosh(x)).

Derivada

Com

temos

e .

Substituindo

resulta .

Evolvente de uma cicloide[editar | editar código-fonte]

Uma evolvente de uma cicloide é uma cicloide congruente. Em coordenadas cartesianas a curva é dada por

onde t é o ângulo e r o raio.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A evolvente possui algumas propriedades que a tornam fundamental para a indústria de engrenagens: se duas engrenagens engatadas possuem dentes com perfil evolvente, elas formam um sistema de engrenagens evolventes. Suas taxas de rotação relativas são constantes enquanto os dentes estão engrenados, e o contato ocorre sempre ao longo de um segmento de reta, denominado linha de ação. Com dentes de outras formas as velocidades de rotação e as forças transmitidas são intermitentes, ocasionando portanto vibrações, ruídos e desgaste excessivo. Por esta razão quase a totaalidade das engrenagens atualmente produzidas possuem dentes com a forma evolvente.

A evolvente de um círculo é também uma forma fundamental em compressores, pois um compressor espiral pode ser construído baseado nesta forma. Compressores espirais fazem menos barulho que compressores convencionais, sendo também mais eficientes.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]