Fator integrante

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, factor integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem

Considere uma equação diferencial ordinária linear da sequinte forma:

$y'+a(x)y=b(x)\,$

onde $y=y(x)$ é a incógnita e depende da variável $x$, e $a(x)$ e $b(x)$ são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por $M(x)$, obtém-se:

$M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\,$

Supomos que M(x) possa ser escrita na seguinte forma:

$(M(x)y)'=M(x)b(x)\,$

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C\,$

onde $C$ é constante. Resolvendo para $y(x),$, temos:

$y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,$

Para encontrar a função M(x), basta observar que, pela regra do produto:

$(M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x)\,$

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

$M'(x)=a(x)M(x).\quad \quad \quad (4)\,$

O que implica:

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.$

Exemplo

Consire a seguinte equação diferencial:

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Multiplicando a equação pelo factor integrante $M(x)=x^{-2}\,$, temos:

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

ou, reagrupando os termos:

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

o que é equivalente a:

${\frac {y}{x^{2}}}=C$

ou, resolvendo para y:

$y=Cx^{2}\,$