Fator integrante

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Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

onde é a incógnita e depende da variável , e e são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por , obtém-se:

Supomos que possa ser escrita na seguinte forma:

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

onde é constante. Resolvendo para , temos:

Para encontrar a função , basta observar que, pela regra do produto:

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

O que implica:

que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte equação diferencial:

Multiplicando a equação pelo fator integrante , temos:

ou, reagrupando os termos:

o que é equivalente a:

ou, resolvendo para y:

 Transformação de uma EDO em Equação Exata[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação diferencial exata

Considere uma equação diferencial da forma

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

Para que essa equação seja exata, precisamos que

[1]

Ou seja, como e são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma ou , sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos e .

Assim, tomando como uma função exclusivamente de , teremos:

Ou seja, para obter uma a função precisamos resolver a equação diferencial

Observe que dessa expressão obtemos que, para que seja uma função de é necessário que seja também uma função de .

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

.

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

Ver também[editar | editar código-fonte]

  1. Boyce, William (2013). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Rio de Janeiro: LTC