Fator integrante

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Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

onde é a incógnita e depende da variável , e e são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por , obtém-se:

Supomos que M(x) possa ser escrita na seguinte forma:

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

onde é constante. Resolvendo para , temos:

Para encontrar a função M(x), basta observar que, pela regra do produto:

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

O que implica:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Consire a seguinte equação diferencial:

Multiplicando a equação pelo fator integrante , temos:

ou, reagrupando os termos:

o que é equivalente a:

ou, resolvendo para y:

Ver também[editar | editar código-fonte]