Fator integrante

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

$y'+a(x)y=b(x)\,$

onde $y=y(x)$ é a incógnita e depende da variável $x$, e $a(x)$ e $b(x)$ são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por $\mu (x)$, obtém-se:

$\mu (x)y'+\mu (x)a(x)y=\mu (x)b(x)\,$

Supomos que $\mu (x)$ possa ser escrita na seguinte forma:

$(\mu (x)y)'=\mu (x)b(x)\,$

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

$y(x)\mu (x)=\int b(x)\mu (x)\,dx+C\,$

onde $C$ é constante. Resolvendo para $y(x),$, temos:

$y(x)={\frac {\int b(x)\mu (x)\,dx+C}{\mu (x)}}\,$

Para encontrar a função $\mu (x)$, basta observar que, pela regra do produto:

$(\mu (x)y)'=\mu '(x)y+\mu (x)y'=\mu (x)b(x)\,$

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

$\mu '(x)=a(x)\mu (x).\quad \quad \quad (4)\,$

O que implica:

$\mu (x)=e^{\int a(x)\,dx},$ que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Exemplo

Considere a seguinte equação diferencial:

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Multiplicando a equação pelo fator integrante $M(x)=x^{-2}\,$, temos:

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

ou, reagrupando os termos:

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

o que é equivalente a:

${\frac {y}{x^{2}}}=C$

ou, resolvendo para y:

$y=Cx^{2}\,$

 Transformação de uma EDO em Equação Exata

Ver artigo principal: Equação diferencial exata

Considere uma equação diferencial da forma

$M(x,y)+N(x,y)y'=0$

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante $\mu (x,y)$ e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

$\mu (x,y)M(x,y)+\mu (x,y)N(x,y)y'=0$

Para que essa equação seja exata, precisamos que

${\frac {\partial (\mu {M})}{\partial {y}}}={\frac {\partial (\mu {N})}{\partial {x}}}$

Ou seja, como $M$ e $N$ são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função $\mu$ que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

$\mu {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}+M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}=\mu {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}+N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \mu {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}+M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}-\mu {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}-N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}=0$

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

$M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}-N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}+\mu \left({\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}-{\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}\right)=0\qquad \qquad (I)$

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma $\mu (x)$ ou $\mu (y)$, sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos ${\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}=M_{y}$ e ${\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}=N_{x}$.

Assim, tomando $\mu$ como uma função exclusivamente de $x$, teremos:

$\mu {\text{ é uma função de x}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\partial \mu }{\partial {y}}}=0\qquad \Rightarrow ^{\qquad }{N{\frac {d\mu }{dx}}}=\mu (M_{y}-N_{x})\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {d\mu }{dx}}=\mu {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}$

Ou seja, para obter uma a função $\mu (x)$ precisamos resolver a equação diferencial

${\frac {d\mu }{dx}}={\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\mu$

Observe que dessa expressão obtemos que, para que $\mu$ seja uma função de $x$ é necessário que ${\frac {M_{y}-N_{x}}{M}}$ seja também uma função de $x$.

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

$\mu =e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{M}}dx}$.

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de $y$.

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

Ver também

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli