Função eta de Dirichlet

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, na área de teoria analítica dos números, a função eta de Dirichlet é definida como

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

onde ζ é a função zeta de Riemann. No etanto, ela também pode ser utilizada para definir a função zeta. Ela possui uma expansão da Série de Dirichlet, válida para qualquer número complexo s com parte real positiva, dada por

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Enquanto esta converge apenas para s com parte real positiva, ela é uma somável no sentido de Abel para qualquer número complexo, que serve para definir a função eta como uma função inteira e mostra que a função zeta é meromorfa com um pólo simples em s = 1.

Valores particulares[editar | editar código-fonte]

E também:

 \!\ \eta(1) = \ln2 , esta é a série harmônica alternada.
\eta(2) = {\pi^2 \over 12}
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}
\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880}
\eta(12) = {{61499\pi^{12}} \over {56855407305}}