Função harmônica

• Para função harmónica em música, veja funcionalidade diatônica

Função harmónica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formal

Função harmónica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rⁿ) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

$\nabla ^{2}f=0$ ou $\ \Delta f=0.$

onde: $\nabla ^{2}$ é o operador laplaciano e $\ \Delta$ é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmónica pode ser definida de outros modos:

• Função harmónica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
• Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmónica se e somente se é fracamente harmónica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmónicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, $\ \Delta .$

Nesse contexto, uma função é dita harmónica se $\ \Delta f=0.$

Uma $C^{2}$ função que satisfaz $\Delta f\geq 0$ é dita subarmônica.

Ligações externas

• «Harmonic function at http://en.wikipedia.org»  ;

Ver também

• Equação de Laplace;
• Função anarmônica;
• Função subarmónica;
• Operadores diferenciais.