Função linear

Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:

• Aditividade:

$f(x+x')=f(x)+f(x')$;

• Homogeneidade:

$f(ax)=af(x)$.

em suma: =$f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se desfunção linear à função definida por: (Y=ax+b a<>0; b=0) onde A e B são números reais quaisquer, com a devida restrição em B, isto é, tem que ser igual a zero.

• y é a variável dependente e x a variável independente;
• A é o coeficiente angular
• B é o coeficiente linear, é o valor numérico da ordenada cortada pela recta. Quando b<>0 a função é chamada de afim.

Nota: (1) <> significa diferente! (2) Geralmente os Economistas chamam a qualquer recta da forma y=mx+b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, diz que uma função é linear se e só se <=> a ordenada na origem for zero. Quando b é diferente de zero, passa-se a chamar função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times ){\mbox{ e }}(W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )\,$ espaços vetoriais. Uma função $f:V\rightarrow W\,$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• $\forall x,y\in V\ (f(x\oplus _{V}y)=f(x)\oplus _{W}f(y))\,$

• $\forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\otimes _{V}v)=a\otimes _{W}f(v))\,$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• $\forall x,y\in V\ (f(x+y)=f(x)+f(y))\,$

• $\forall a\in F\ \forall v\in V\ (f(a\ v)=a\ f(v))\,$

Ver também

• função afim.